1. Двойной интеграл. Определение двойного интеграла

16.1.3.5.2. Если функция f(P) интегрируема по области D, то .
Док-во. Эти неравенства непосредственно следуют из того, что и свойства 16.1.3.4. Интегрирование неравенств.
16.1.3.6. Теорема о среднем. Если функция f(P) непрерывна на области D, то существует точка , такая что .
Док-во. Непрерывная на ограниченной замкнутой области D функция f(P) принимает в некоторых точках этой области своё минимальное m и максимальное M значения. Так как , то , или . Непрерывная функция принимает, кроме того, любое значение, заключённое между m и M, в частности, значение . Следовательно, , откуда и следует доказываемое утверждение.

3. 
   Вычисление двойного интеграла. Двукратный (повторный) интеграл.
   

1. 
   Определение простой (правильной) области. Область D на плоскости Oxy будем называть простой (правильной) в направлении оси Oy, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oy, пересекает границу D в двух точках.
   

Аналогично определяется область, простая (правильная) в направлении оси Ox: любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oх, пересекает границу D в двух точках.
Область, правильную (простую) в направлении обеих осей, будем называть правильной.


Ограниченную замкнутую область D, правильную в направлении оси Oy, можно описать неравенствами . Числа a и b существуют вследствие ограниченности области D, функция образована нижними точками пересечения прямой x = x₀ при с границей области D, функция - верхними точками пересечения этой прямой с границей области D.
Аналогичным образом область D, ограниченную, замкнутую и правильную в направлении оси Oх, можно описать неравенствами . Функция образована левыми точками пересечения прямой y = y₀ при с границей области D, функция - правыми точками пересечения этой прямой с границей области D.

Для правильной области (т.е. области, правильной в направлении обеих осей) существуют оба способа представления: и , и .

2.