1. Двойной интеграл. Определение двойного интеграла

Двукратный (повторный) интеграл. Пусть D - область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение . Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от до получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a до b. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:

.
Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:
Свойства линейности и интегрирования неравенств следуют из этих свойств определённого интеграла; интеграл от единичной функции даёт площадь областиD: ;

теоремы об оценке и о среднем следуют из перечисленных свойств. Единственное свойство, с которым придётся повозиться - это свойство аддитивности. Мы докажем его в простой, но достаточной для нас форме: если область D разбита на две подобласти D₁ и D₂ прямой, параллельной одной из координатных осей, то двукратный интеграл по области D равен сумме интегралов по D₁ и D₂: J(D) = J(D₁) + J(D₂).
Первый случай: прямая x = a₁ параллельна оси Oy. Тогда (аддитивность внешнего интеграла) = J(D₁) + J(D₂).
Второй случай: прямая y = c₁ параллельна оси Oх. Воспользуемся сначала аддитивностью внешнего интеграла:


(теперь применим свойство аддитивности для внутреннего интеграла в среднем слагаемом) = (применяем свойство линейности для внешнего интеграла в среднем слагаемом и перегруппировываем сумму)=

(первая фигурная скобка даёт повторный интеграл по D₁, второй – по D₂ = J(D₁) + J(D₂).

Понятно, что воэможны различные случаи взаимного расположения прямых y = c₁, x = a₁, x = a₂ и функций , , но логика доказательства во всех случаях такая же.
Обобщим доказанное свойство. Пусть прямая разбивает область D на две подобласти D_1,1 и D_1,2. Проведём ещё одну прямую, параллельную какой-либо координатной оси. Пусть эта прямая разбивает D_1,1 на D₁ и D₂; D_1,2 - на D₃ и D₄. По доказанному, J(D_1,1) = J(D₁) + J(D₂), J(D_1,2) = J(D₃) + J(D₄), поэтому J(D) = J(D_1,1) + J(D_1,2) = J(D₁) + J(D₂) + J(D₃) + J(D₄). Продолжая рассуждать также, убеждаемся в справедливости следующего утверждения: если область D с помощью прямых, параллельных координатным осям, разбита на подобласти D₁, D₂, …, D_n, то .

3.