1. Двойной интеграл. Определение двойного интеграла

Док-во. Пусть область D₁ разбита на подобласти D_1,1, D_1,2, …, D_{1, n1}; область D₂ разбита на подобласти D_2,1, D_2,2, …, D_{2, n2}. Тогда объединение этих разбиений даст разбиение области D: на n₁ + n₂ подобластей. Интегральная сумма по области D равна сумме сумм по областям D₁ и D₂: . Как и в предыдущем случае, переходя к пределу при , получим требуемое равенство.

3. 
   Интеграл от единичной функции по области D равен площади этой области: .
   

Док-во: Для любого разбиения , т.е. не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек P_i. Предел постоянной равен этой постоянной, поэтому .
16.1.3.4. Интегрирование неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции f(P), g(P) интегрируемы по области D, то .
Док-во. В любой точке выполняется неравенство , поэтому . По теореме о переходе к пределу в неравенствах отсюда следует требуемое утверждение.

5. 
   Теоремы об оценке интеграла.
   

16.1.3.5.1. Если функция f(P) интегрируема по области D, и для выполняется , то .
Док-во. (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств).