1. 3-§. Икки нуқтали чегаравий масаланинг Грин функцияси

3. Грин функцияси ягона. Бу хосса исботини кейинги параграфда келтирамиз.
1-эслатма. Биз тенгламанинг шартларни қаноатлантирувчи тривиал бўлмаган ечими мавжуд эмас деб фараз қилдик. Бу шарт қўйилган масала ечимининг мавжудлигини ва ягоналигини таъминлаш билан бирга, қўйилган масала Грин функциясининг ягоналигини ҳам таъминлайди.
2-эслатма. Агар ўрганилаётган чегаравий масалада (1.5) дан келиб чиқувчи бошқа чегаравий шартлар олинган бўлса, бу масаланинг Грин функцияси ўша чегаравий шартга мос бир жинсли шартни бажариши талаб қилинади.
3-эслатма. масаланинг юқорида таърифланган Грин функциясини баъзида дифференциал оператор (ифода)нинг (1.4) шартларни қаноатлантирувчи Грин функцияси деб аталади.
Агар қаралаётган чегаравий масалага мос бир жинсли масала фақат тривиал ечимга эга бўлиб, бу масаланинг Грин функцияси мавжуд бўлса, у холда бу функция оддий Грин функцияси деб юритилади.

1.4-§. Грин функциясини тузишга доир мисоллар

Қуйида оддий Грин функциясини тузишга доир мисоллар кўрамиз.

1. Қўйидаги
, ,
чегаравий масаланинг Грин функциясини топайлик.
Ечиш. Энг аввал тенгламанинг шартни қаноатлантирувчи ечимини топамиз. Сўнгра шу бир жинсли тенгламанинг шартни қаноатлантирувчи ечимини топамиз. Грин функциясини қуйидаги кўринишда излаймиз:

Грин функцияси нуқтада узлуксиз бўлгани учун

муносабатга, ҳосиласи эса да узилишга эга бўлгани учун, эканлигини ҳисобга олсак,

муносабатга эга бўламиз. Бу икки алгебраик тенгламалар системасидан , тенгликлар келиб чиқади. Демак, қўйилган масаланинг Грин функцияси

формула билан ифодаланади.
2. Ушбу дифференциал ифоданинг чегаравий шартларни қаноатлантирадиган Грин функциясини тузинг.
Ечиш. Грин функциясини

кўринишда излаймиз.
нуқтада функция узлуксиз, лекин унинг биринчи тартибли ҳосиласи узилишга эга бўлгани учун

алгебраик тенгламалар системасини ҳосил қиламиз. Бу системани ечиб , ларни топамиз. Демак, изланаётган Грин функцияси қуйидагича ёзилади: