Узлуксиз тасодифий микдорлар таксимот функция тушунчаси. Зичлик функция. Урта киймат ва дисперсия

Узлуксиз тасодифий микдорлар таксимот функция тушунчаси. Зичлик функция. Урта киймат ва дисперсия


Режа:

1. 
   Узлуксиз тасодифий микдорлар функцияси.
   
2. 
   Зичлик функция ва хоссалар.
   
3. 
   Урта киймат, дисперсия ва хоссалари.
   

Узлуксиз тасодифий микдорнинг таксимот конунини дискрет тасодифий микдорнинг таксимот конунига ухшаб таърифлаш мумкин эмас.

Узлуксиз тасодифий микдорнинг таксимот конуни эхтимоллар таксимотининг зичлиги еки таксимотнинг зичлик функцияси Р(х) оркали таърифланади.
Р(х) - зичлик функция куйидаги хоссаларга эга:

1. 
   Р(х)³0, хÎR,
   
2. 
   Тасодифий микдор [a,b] кесманинг ичидаги кийматларни кабул килиш эхтимоли, х=а ва у=в тугри чизиклар, юкоридан у=р(х) функциянинг графиги ва ОХ уки билан чегараланган эгри чизикли трапециянинг юзига тенг,
   

яъни
P(a

3. 
   у=р(х) функциянинг графиги ва ОХ уки билан чегараланган фигуранинг юзаси 1 тенг:
   

Узлуксиз тасодифий микдорларнинг таксимот конунларига мисолларни навбатдаги параграфда келтирамиз.
Таъриф 3. Х тасодифий микдорнинг математик кутилиши еки уртача киймати деб ушбу

тенглик билн аникланувчи МХ сонга айтилади.
Мисолимиздаги кунига сотилган автомобилларнинг математик кутилишини хисоблаймиз:
МХ=0×0,18+1×0,39+2×0,24+3×0,14+4×0,04+5×0,01=1,5
Шундай килиб, Х тасодифий микдорнинг уртача киймати 1,5 тенг еки бошкача килиб айтганда, кунига уртача 1,5 автомобил сотилади. Бу уртача кийматни билиш ишлаб чикаришни бошкаришда, аникрок карор кабул килиш ва режалаштиришда жуда мухимдир. Масалан, уч ой давомида нечта автомобил сотилади? Бир кун ичида уртача 1,5 автомобил сотилса, у холда 90×1,5=135 автомобил сотилади.
Карор кабул килишда бу маълумот фойдалидир.
Математик кутилиш- бу узгармас сон булиб таксимотнинг марказини билдиради.
Математик кутилишнинг хоссаларини караб чикамиз.

1. 
   Узгармас микдорни математик кутилиши шу микдорнинг узига тенг:
   

МС=С , С=const.

2. 
   Узгармас купайтирувчини математик кутилиш белгисидан ташкарига чикариш мумкин:
   

М(С×Х)=С×МХ.

3. 
   Тасодифий микдорларни йигиндисининг математик кутилиши шу микдорларнинг математик кутилишларини йигиндисига тенг:
   

М(Х+У)=МХ+МУ
Мисол 3. Маълумки, кутара савдода махсулотнинг нархи махсулотларни хажмига боглик. Айтайлик, 1 т. шакарни нархи ва сотилган шакарни хажми орасидаги боглик куйидаги куринишда берилган
У=50-Х/10,
бу ерда У-1 тонна шакарни нархи (минг сум), Х-партияни хажми (тонна хисобида), МХ£300
Фараз киламиз, битта партиянинг уртача хажми 250 тонна булсин, бошкача килиб айтганда МХ=250 тонна.
1 тонна шакарнинг уртача нархини хисобланг.
Математик кутилишни 1-3 хоссаларга асосан:
МУ=М(50+(-1/10)Х)=М(50)+М))-1/10)МХ=50-250/10=50-25=25 Амалда, купинча, тасодифий микдорни унинг уртача кийматидан четланишини бахолаш талаб килинади. Бир томондан караганда, Х-МХ четланишларни хисоблаб уларни уртача кийматини топиш осон. Лекин, четланишларни уртача киймати нолга тенг. Маълумки, четланишларнинг ишоралари хар хил булса, у холда уртача кийматни хисоблаганда хар хил ишорали четланишлар бир бири билан ейишиб кетади.
Шунинг учун тасодифий микдор кийматларини сочилишининг характеристикаси сифатида четланишлар квадратларининг урта киймати олинади.
Х тасодифий микдорнинг дисперсияси еки сочилиши деб, шу тасодифий микдор ва унинг математик кутилиши орасидаги айирма квадратининг математик кутилишига айтилади:
DX=M(X-M(X))²p_k=
, агар Х-дискрет т.м. булса
, агар Х- узлуксиз т.м. булса.
Купинча DX блегилаш урнига s² белгилаш кабул килинади,
s² =DX; s= -катталик уртача квадратик четланиш дейилади.
Энди 2-мисолдаги Х- бир кун давомида сотилган автомобиллар сонини дисперсиясини хисоблаймиз:
s²=(0-1,5)²×0,18+(1-1,5)²×0,39+(2-1,5)²×0,24+(3-1,5)²×0,14+(4-1,5)²×0,04+(5-1,5)²×0,01=2,25×0,18+0,25×0,39+0,25×0,24+ +2,25×0,14+6,25×0,04+12,25×0,01=1,25
Тасодифий микдорнинг дисперсияси- бу микдор кийматларини сочилишини характеристикаси сифатида битта камчиликка эга: дисперсиянинг улчов бирлиги Х тасодифий микдорнинг кийматларини сочилишини характерлашда бир хил улчов бирлиги уртача квадратик четланиш ишлатилади.
Бизнинг мисолда s= =1,118 та. Демак, 1 кун давомида сотилган автомобиллар сони уртача сотилган автомобиллар сонидан 1,118 га фарк килади.
Дисперсия ва уртача квадратик четланишлар тасодифий микдорнинг кийматларини сочилиш даражасини характерлайди: дисперсия еки уртача квадратик четланиш канча катта булса, тасодифий микдорнинг кийматларини сочилиш даражаси шунча катта булади.
Энди битта мисол куриб чикамиз.
Музкаймок сотувчиси куешли кун давомида 160 долларга, емгирли кун давомида 29 долларга музкаймок сотиши мумкин.
Агар емгир егиши эхтимоли 0,35 га тенг булса, кунлик даромад канча булади?
Айтайлик Х тасодифий микдор -сотувчининг кунлик даромади булсин (ихтиерий кун учун). У холда Х куйидаги таксимотга эга:

Х	20	160
Р	0,35	0,65

Х тасодифий микдор дискрет тасодифий микдор булганлиги учун бизни кизиктираетган даромад МХ булади:
МХ=20×0,35+160×0,65=111.
Демак, кунлик даромад уртача 111. Бир кунлик даромадни уртача квадратик четланиши:
s= = ₌67
Шундай килиб, иссик кунда еки салкин (емгир егган) кунда мумкин булган даромадни киймати кутилаетган даромадни кийматидан 67 долларга четланади.
Демак, Х тасодифий микдорнинг асосий сонли характеристикалари математик кутилмаси МХ ни ва уртача квадратик четланишини блиш - тасодифий микдорнинг мумкин булган кийматлар сохасини тахминан тасаввур килиш хакида маълумот беради.
Энди дисперсиянинг хоссаларини караб чикамиз.

1. 
   Узгармас микдорнинг дисперсияси нолга тенг: DC=0
   
2. 
   Узгармас купайтувчини уни квадратга ошириб дисперсия белгисидан ташкарига чикариш мумкин: D(C×X)=C²×DX.
   

Агар Х ва У тасодифий микдорларни биргаликдаги таксимоти уларнинг таксимотларини купайтмасига тенг булса, еки хар бир мумкин булган Х=х ва У=у кийматлар жуфти учун: Р(х,у)=Р(х)×Р(у) тенглик уринли булса, у холда Х ва У тасодифий микдорлар эркли (боглик булмаган) тасодифий микдорлар деб аталади.

3. 
   Х ва У боглик булмаган тасодифий микдорлар булса, уларнинг йигиндисининг дисперсияси дисперсияларни йигиндисига тенг D(X+Y)=DX+DY
   

Умумий холда, ихтиерий Х ва У тасодифий микдорлар учун:
D(X+Y)=DX+DY+cov(X,Y),
cov(X,Y)=M((X-MX)(Y-MY)).
Шакарни кутарасига сотиш хакидаги масалага кайтамиз.
Y=50-(1/10)X, Y- 1 тонна шакар партиясининг уртача хажми 250 тоннага тенг, уртача квадратик четланиши 25 тоннага тенг булсин, МХ=250 тоннага тенг булсин, МХ=250, ÖДХ=25. Маълумки, шундай хажмда 1 тонна шакарни уртача нархидан канчага фаркланади?
Дисперсиянинг 1-3 хоссаларидан фойдаланиб:
DY=D(50+-1/10)X)=D(50)+D((-1/10)X)=0+(-1/10)DX=(1/100)DX
Натижада,
s= = =(1/10) =(1/10)25=2,5 (минг сум)
Демак, кутара савдода 1 тонна шакарни нархи шакарнинг уртача нархидан 2,5 минг сумга фаркланади.
ЭХТИМОЛЛАР ТАКСИМОТИНИНГ ТУРЛАРИ

Эхтимоллар назариясида асосан икки хил таксимотлар мавжуд- дискрет ва узлуксиз. Маълумки, хар бир таксимотга кандайдир битта тасодифий микдор мос келади ва аксинча.

Агар кандайдир таксимотга мос келувчи тасодифий микдор дискрет булса, у холда унинг таксимоти хам дискрет деб аталади. Демак, дискрет тасодифий микдор дискрет таксимот конунга эга.
Худди шундай, узлуксиз тасодифий микдорнинг таксимот конуни- узлуксиз таксимот конун деб аталади.
Бу пунктда узлуксиз ва дискрет таксимотларнинг иктисодиетда кенгрок ишлатиладиган турлари келтирилади.

БИНОМИАЛ ТАКСИМОТ

Тажриба (еки синов) куйидаги шартларни каноатлантирсин:

- тажриба n- та эркли синовлардан иборат булсин;
- хар бир синов иккита натижага эга (омадли ва омадсиз);
- бу натижаларнинг эхтимоллари хамма синовлар учун узгармас сонлар булади;
-хар бир синовлар бир бирига боглик булмайди, бошкача килиб айтганда хар бир синовнинг натижаси бошка синовларга боглик эмас ва аксинча (эркли синовлар).
Бундай тажрибалар эркли синовларнинг кетма -кетлик схемаси, еки Бернулли схемаси деб аталади.
Биномиал таксимот конуни бу- Бернулли схемасининг таксимот конунидир.
Айтайлик, бирор синов натижасида У ходиса юз берса «омад» га эришдик деб хисоблаймиз, юз бермаса омадсизлик руй беради деб айтамиз.
«Омад» ходисасининг эхтимолини р=Р(У) оркали белгилаймиз 0

19. 
    нинг таксимоти куйидаги куринишга эга:
    

S	0	1	2	...	n
P	C^0np^0q^n	C^1np^1q^n-1	C^2np^2q^n-2	...	C^nnp^nq^n

ва биномиал таксимот деб аталади, чунки
p_k=P(S=k)= C^k_np^kq^n-k (1)
эхтимолларни (p+q)ⁿ биномни хадлари сифатида караш мумкин, C^k_n=(n!)/(k!(n-k)!), n! =1×2×3×...×n.
Биномиал таксимотининг татбик килинишига доир мисолни куриб чикамиз:
Тажриба пойафзал дуконнинг харидорларини кузатишдан иборат булсин. Дуконнинг бошкарувчиси харидорни 0,30 эхтимоллик билан пойафзал сотиб олишини аниклади.
Навбатдаги учта харидордан ропа- роса иккитасининг харид килиш эхтимоли нимага тенг?
Аввало, поафзал дуконига кириб, бирор нарса сотиб олувчи 3- та харидорларни, Бернулли схемаси сифатида караш мумкинлигини курсатамиз. Бунинг учун куйидаги 4-та шартни (талабни) бажарилишини текшириб чикамиз:

• 
  тажриба учта бир хил синовлар кетма-кетлиги куринишда берилиш мумкин. синов - бу хар бир харидорни дуконга кириши деб тушунамиз;
  
• 
  тажриба иккита натижага эга: харидор бирор нарса сотиб олади-«омад», еки сотиб олмайди- «омадсизлик»;
  
• 
  хар бир харидор 0,30 эхтимоллик билан бирор нарса сотиб олади (омадилк эхтимоли) ва 0,70 эхтимоллик билан бирор нарса сотиб олмайди (омадсизлик эхтимоли);
  
• 
  хар бир харидор бир биридан эркли равишда бирор нарсани сотиб олади.
  

Агар биз харид килган харидорлар сонини S деб белгиласак, у холда бу тасодифий микдор биномиал таксимотнинг хамма шартларини каноатлантиради.
Мисолимизда n=3, пойафзал сотиб олиш эхтимоли p=0.30 булиб, иккита харидорни бирор нарса сотиб олиш эхтимолини хисоблаш мумкин:
Р(2)=(3!/((2!(3-2)!))(0,3)²×0,7=((1×2×3)/(1×2×1))×0,09×0,7=0,189
Шунга ухшаш, учта харидорлардан бирортаси хам хеч нарса сотиб олмаслик эхтимоли:
Р(0)=(3!/0!3!)(0,3)⁰×(0,7)³=((1×2×3)/(1×2×3))×(0,7)³=0,343

1. 
   формулага асосан учта харидорлардан биттаси еки учтасининг харид килиш эхтимоллари
   

Р(1)=0,441, Р(3)=0,027 тенг.
Харид килган харидорлар сонининг таксимот конуни куйидаги булади:

S	0	1	2	3
P(k)	0.343	0.441	0.189	0.027

Агар харидорлар сони 3-та булмасдан, 10-та булса, шу 10-та харидорлардан роса турттаси бирор нарса сотиб олиш эхтимоли

Р(4)=(10!/4!6!)(0,2)⁴(0,7)⁶=0,2001
Бундай биномиал схемасида n ва р- нинг маълум кийматларида Р(k), 0£k£n эхтимоллар жадваллаштирилган (3 жадвал). Шунинг учун (1) формула билан фойдаланмасдан жадвалдан жуда осон Р(4)=0,2001 топиш мумкин. Энди , бирор нарса сотиб олган харидорларни уртача сонини хисоблаймиз:
МХ= ×р_k=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9
Худди шу натижада тажрибалар сонини омадлилик эхтимолига тасодифий микдорнинг математик кутилиши тажрибалар сони ва омад эхтимолини купайтмасига тенг:
MS=n×p (2)
Фараз киламиз, кейинги ой давомида 1000 харидор пойафзал дуконига ташриф килиши мумкин. У холда харид килган харидорлар сонининг уртачаси (2) формулага асосан
MS=n×p =1000×0,3=300 га тенг.
Сотилган махсулотларни уртача микдорини ошириш учун харидорларни кизиктириш (реклама йули билан) керак, шунда харидорлар сони купаяди, еки кандайдир усул ердамида махсулотни сотиб олиш эхтимолини купайтириш (ошириш) керак.
Биномиал таксимотга эга булган тасодифий микдорнинг дисперсияси тажрибалар сони, омадлик ва омадсизлик эхтимолларининг купайтмасига тенг:
DS=3×0.3×0.7=0.63;
s= ÖDS=Ö0.63=0.79
Бундан куринадики, биномиал таксимоти иккита параметр ерамида аникланади- тажрибалар сони n ва омад эхтимоллиги р. Таксимотни сонли характеристикалари: математик кутилиши ва дисперсия хам бу параметрлар оркали ифодаланади.

ГЕОМЕТРИК ТАКСИМОТИ

Бернулли схемасининг шартларини каноатлантирувчи тажрибани куриб чикамиз.

Айтайлик, Х- биринчи омад келгунча бажариш керак булган синовлар сони булсин. У холда Х-дискрет тасодифий микдор булиб 1,2,3,... кийматларни кабул килади. Бу тасодифий микдорнинг таксимот конуни куйидаги куринишга эга:

X	1	2	3	...	k	...
P	P	Pq	q^2p	...	q^k-1p	...

ва геометрик таксимоти деб аталади, чунки
p_k=P(x=k)=q^k-1p, k=1,2,3,... эхтимоллар махражи q булган геометрик прогрессияни ташкил килади, p-омадлилик эхтимоли, q=1-p - омадсизлик эхтимоли.
Биринчи омадга эришгунча утказиш керак булган тажрибаларнинг уртача сони МХ= k×p=1/p га тенг, дисперсияси эса DX=q/p² .
Мисол. Пластмасс махсулотларни сотувчи савдо фирмаси «Совпластитал» фирмаси билан, шартнома тузиб, 0,75 эхтимоллик билан маълум бир микдорда фойда олади. Биринчи марта фойда олгунча нечта шартнома тузиш керак?
Биринчи фойда олганча тузиш керак булган шартномаларнинг уртача сони:
МХ=1/р=1/0,75=1,3.
Уртача квадратик четланиши:
s=Öq/p=Ö0.25/0.75=0.5/0.75=0.08
ПУАССОН ТАКСИМОТИ

Бу ерда биз аник вакт давомида юз берадиган тасодифий ходисаларнинг сонини белгилайдиган дискрет тасодифий микдорларни куриб чикамиз. Масалан, бундай тасодифий микдорлар сифатида: Т-вакт давомида аник сорт пряжанинг ипини узилиш сонини, бир кун ичида ремонтга турган автомобиллар сонини, бир хафта давомида складдан сотилган махсулотларни сонини, аник масофали труборовдан окишлар сонини куриб чикиш мумкин.

Пуассон таксимоти уринли булиши учун иккита шарт каноатлантирилиши керак:
-узунлиги бир хил интервалларда ходисанинг юз бериш эхтимоли бир хил (тенг) булади;
-ходисани ихтиерий (узунлиги) вакт (интервалида) давомида юз бериш еки юз бермаслик бошка вакт интервалида юз бериш еки юз бермасликка боглик эмас.
Пуассон конуни буйича таксимланган тасодифий микдорнинг таксимоти куйидаги куринишга эга:

X	0	1	2	...	k	...
P	l^0е^-^l/0!	lе^-^l/1!	l^2е^-^l/2!	...	l^kе^-^l/k!	...

l>0, е =2,71828...
Мисол. Х тасодифий микдор 30 дакика давомида банкга келган кассирлар сони булиб, l=6 параметрли Пуассон конуни буйича таксимланган булсин. 30 дакика давомида банкга 4-та кассир келиш эхтимоли нимага тенг?
Пуассон таксимоти бошка таксимотларга ухшаб жадваллаштирилган. (2 жадвал)
Шунинг учун, бизни кизиктираятган эхтимолни Пуассон таксимоти (l=6 тенг булганда) жадвалидан топамиз
Р(х=4)=(6⁴×е^-6)/4!=0,1339.
Бу жадвалдан куйидаги эхтимолларни топиш мумкин:
Р(х=15)=0,0009, Р(х=16)=0,0003, Р(х=17)=0,0002
Бундан куринадики 30 дакика давомида 15, 16, 17 та кассирларни банкга келиш эхтимоллари жуда кичик, шунинг учун бу ходисалар жуда кам холда руй беради.
Пуассон таксимотининг сонли характеристикалари бир бирига тенг МХ=DX=l
Пуассон таксимоти битта параметр билан берилади. Бу параметр бир бирлик вакт давомида юз берган ходисалар сонининг уртача кийматини характерлайди.

НОРМАЛ ТАКСИМОТ КОНУНИ

Нормал таксимотнинг зичлиги (зичлик функцияси) статистик хулосалар чикаришда мухим ролга эга. Биринчидан, бу зичлик факат иккита параметрларга боглик -уртача киймат ва дисперсияга. Шунинг учун, бу зичлик функцияси билан аналитик жихатдан ишлаш жуда осон. Иккичидан, маълумки, жуда куп иктисодий ва тибиий жараенларни нормал таксимот бир мунча аникрок акс эттиради. Масалан чет эл валютасининг курси; жинси, миллати ва еши бир хил булган одамларинг буйи; хайвонлар органларининг улчовлари нормал таксимот конуни буйича таксимлангандир. Учинчидан, нормал таксимот тушунчаси марказий лимит теоремаси билан боглик.

Хусусан, бу теоремага кура чекли дисперсияларга эга булган, бош тупламдан тасодифий равишда танланган танланмани уртча арифметигининг (танланманинг хажми чексиз ортганда) таксимоти нормал таксимотга асимптотик интилади.
Шунинг учун, нормал таксимот конуни танланма уртача кийматнт тахлил килишда куп ишлатилади.
Нормал таксимот конуни куйидаги зичлик функция билан характерланади:
р(х)=(1/ s)exp(-(x-a)²/2s²)
бу ерда а-Х тасодифий микдорнинг уртача киймати;
s²-Х тасодифий микдорнинг дисперсияси;
s- Х тасодифий микдорнинг уртача квадратик четланиши;
p=3,14159..., е=2,71828...
Нормал таксимотнинг зичлик функциясининг графиги Гаусс эгри чизиги деб аталади ва х=а тугри чизикка нисбатан симметрик булади, а уртача киймат, зичлик функция графиги жойлашишини аниклайди.
4-расмда нормал таксимотнинг зичлиги графиклари s бир хил, лекин а нинг хар хил кийматларида тасвирланган.
Формуладан куринадики, х=а булганда у=р(х) функция максимумга эришади ва унинг максимал киймати у_max=1/(sÖ2p) га тенг. s ортиши билан функциянинг максимал киймати камаяди. Абсциссалар уки ва Гаусс эгри чизик билан чегараланган юза бирга тенг булганлиги учун s нинг ортиши билан Гаусс эгри чизиги ОХ ук буйлаб чузилади. s-нинг камайиши билан Гаусс эгри чизиги х=а тугри чизик буйлаб юкорига караб чузилиб горизонтал йулланишда кисилиб боради. (5-расм)
Демак, s-параметр Гаусс эгри чизикнинг шаклини, а- параметр эса унинг жойланишини характерлайди.
Шунга эътибор бериш керакки, зичлик функциясининг графиги ОХ укка асимптотик якинлашиб бориб, хеч качон )
0 -га тенг киймат кабул килмайди.
Аникки, а ва s параметрларнинг хар хил кийматларга мос келувчи чексиз куп нормал таксимот зичликлари мавжуд.
Нормал таксимот конунини стандарт куринишда ифодалашимиз мумкин.
Бу стандартланган узгарувчи куйидагича аникланади:
Z=(X-а)|s
Математик кутилиш ва дисперсиянинг хоссаларига асосан:
MZ=0, DZ=1
Демак, Z тасодифий микдор параметрлари а=0 ва s=1 булган нормал конун буйича таксимланган. Эхтимоллар назариясида бу конун стандарт нормал таксимот конуни деб аталади.
Шундай килиб, нормал таксимотнинг зичлик функциясида а=0, s=1 булса, у стандарт нормал зичлик функцияси деб аталади ва шу зичлик ердамида бериладиган эхтимолларнинг (юзаларнинг) умумий жадвалини тузишга имконият беради. Материални мустахкамлаш учун бир неча масалалар куриб чикиш фойдалирокдир.
Мисол 1. Р(Z<0,45) хисобланг
Жадвалдан 0,4 жойлашган устунни ва 0,05 жойлашган каторни топиб, уларни кесишган жойида жойлашган сон бизни кизиктираетган эхтимолни беради. Шунинг учун Р(Z<0,45)=0,6736 (6-расм)
Мисол 2. Бизни Р(Z>1) эхтимол кизиктирсин. Зичлик эгри чизик ва ОХ ук билан чегараланган юз бирга тенг булганлиги учун, бу юзани иккита х=1 тугри чизикнинг чап ва унг томонида жойлашган юзалар йигиндиси куринишда езиш мумкин.
1=Р(Z<1)+Р(Z>1)
Жадвалдан Р(Z<1)=0,8413 топамиз ва Р(Z>1)=1-Р(Z<1)=1-0,8413=0,1587 аниклаймиз. (6б расм)
Мисол 3. Жадвалда Z нинг манфий кийматлари учун эхтимоллар берилмаган. Р(Z<-1) эхтимолни топиш учун стандарт нормал таксимотнинг а=0 нисбатан симметриклигидан фойдаланамиз. Симметриклик хоссасига асосан
Р(Z<-1)=Р(Z>1)
2-чи мисолга кура Р(Z<-1)=0,1587 (6с расм)
Мисол 4. Р(-16д. Расмдан куринадики, бу эхтимол зичлик эгри чизиги, ОХ уки, х=-1 ва х=1 чизиклар билан чегараланган соханинг юзига тенг. Бу юзага иккита 1 ва -1 дан чап томонда жойлашган юзаларнинг айирмасига тенг:
Р(-1Юкоридаги мисолларда берилган х буйича Р(ZБошкача килиб айтганда, агар х=х(a) дан чап томонда жойлашган юза a-га тенг булса,х=х(a) -нукта a- квантиль еки a×100% лик квантиль (процентиль) деб аталади (7 а расм)
Мисол 5. Стандарт нормал таксимот учун 0,96 процентлик квантилни топинг.
Жадвалдан куринадики, 0,96 га якин киймат a=0,9599 булади. Жадвалнинг 0,9599 ячейкасидан катор буйича чапга, устун буйича тепага силжисак 1,7+0,05=1,75 кийматни топамиз. Шундай килиб, х(0,96)=1,75 (7 б расм).
Мисол 6. 95% га тенг булган иккита киймат бор a=0,9495 ва a=0,9509. Бунга Z нинг 1,64 ва 1,65 кийматлари мос келади. 95% лик квантиль деб уларнинг уртача арифметик кийматини оламиз: х(a)=(1,64+1,65)/2=1,645
Шуни таъкидлаб утиш лозимки, стандарт нормал таксимот х=0 га нисбатан симметрик булганлиги учун, 50№ дан катта булган процентлик квантильлар мусбат булиб 0- дан унг томонда жойлашади. 50% дан чикик булган процентлик квантиллар 0 дан чап томонда жойлашиб, манфий булади, 50% дан ортик процентлик квантилни билсак, 50% дан кам булган процентилни хам топиш мумкин, чунки улар куйидаги муносабат оркали богланган:
х(a)=-х(1-a).
Масалан, 4% лик квантилни топадиган булсак (a=0,04), юкорида берилган муносабатга асосан х(0,04)=-х(0,96) булади ва 5-мисолдан х(0,96)=1,75 топамиз.
Шунинг учун х(0,04)=-1,75 (7 с расм)
Амалий татбикларда биз одатда стандарт нормал таксимотдан фойдаланамиз.
Бундай холда, стандартланган узгарувчига утилади.
Юкоридаги тушунча ва мулохазаларни махкамлаш учун бир нечта мисоллар куриб чикамиз.
Мисол 7. Х- тасодифий микдор нормал конун буйича таксимланган булиб, унинг уртача киймати 10 га, дисперсияси эса 4 га тенг булсин (уртача квадратик четланиш 2 га тенг) Х- тасодифий микдор 12 дан катта еки тенг кийматни кабул килиш эхтимолини хисобланг.
Стандартланган узгарувчига утамиз:
Z=(X-a)/s-(12-10)/2=1
Шундай килиб, P(X>12)=P(Z>1) ва 2-мисолни натижасига асосан P(Z>12)=0.1587. Шунинг учун P(X>12)=0,1587