1. 3-§. Икки нуқтали чегаравий масаланинг Грин функцияси

1.3-§. Икки нуқтали чегаравий масаланинг Грин функцияси

Дифференциал тенгламалар учун бирор бир чегаравий масалани ўрганишда унга мос Грин функцияси муҳим аҳамиятга эга. Мисол сифотида чегаравий масала Грин функцияси билан танишамиз.

Таъриф. Қўйидаги шартларни қаноатлантирувчи икки аргументли функция чегаравий масаланинг Грин функцияси деб аталади:
. функция бўйича интервалда узлуксиз бўлиб, - тайинланган ва ;
. функция ва интервалларда ушбу

бир жинсли тенгламанинг ечимидан иборат;
. функция бўлганда
,
чегаравий шартларни қаноатлантиради;
. нуқтада ҳосила биринчи тур узилишга эга бўлиб, унинг сакраши га тенг, яъни

ёки
.
Юқорида таърифланган Грин функцияси қуйидаги хоссаларга эга:
1. функция ўз аргументларига нисбатан симметрикдир.
Буни исботлаш учун
,
белгилашларни киритамиз. Ихтиёрий , функциялар учун
(1.6)
Грин формуласи ўринли бўлади. Бу формулада , десак, тўпламда , бўлади. сегментни ва нуқталар ёрдамида уч бўлакка, яъни , , га бўлиб, (1.6) ни интегралласак:



тенгликни ҳосил қиламиз. Бу ердан Грин функциясининг хоссаларини эътиборга олсак, қуйидагига эга бўламиз:


ёки


.
Бундан

тенглик, яъни тенглик келиб чиқади. Демак, Грин функцияси ўз аргументларига нисбатан симметрик экан.
2. Грин функцияси мавжуд. Грин функциясининг мавжудлигини уни бевосита тузиш билан исботлаймиз. Бунда Грин функциясининг мавжудлигини таъминлайдиган етарли шартлар ҳам келиб чиқади. Ушбу
(1.7)
бир жинсли тенгламанинг чегаравий шартларни қаноатлантирадиган ечими фақатгина функциядан иборат бўлсин.
(1.7) тенгламанинг , бошланғич шартни қаноатлантирадиган ечимини деб белгилайлик, бундай ечим мавжуд, чунки , ва лар нуқта атрофида узлуксиз. Бу ечим, умуман олганда, иккинчи чегаравий шартни қаноатлантирмайди. Аниқки, (бу ерда - ихтиёрий ўзгармас сон) функция чегаравий шартни қаноатлантиради.
Худди шунга ўхшаш тенгламанинг чегаравий шартни қаноатлантирадиган тривиал бўлмаган ечими ни топамиз. ҳам чегаравий шартни қаноатлантиради (бу ерда - ихтиёрий ўзгармас сон).
Юқоридагиларни эътиборга олиб, Грин функциясини қуйидаги кўринишда излаймиз:

Бу ердаги ва ларни шундай топамизки, натижада Грин функцияси ва шартларни ҳам қаноатлантирсин, яъни 1) функция тайинланган учун бўйича узлуксиз бўлсин, хусусий ҳолда да узлуксиз:
(1.8)
ва 2) функция нуқтада узилишга эга бўлиб, унинг сакраши га тенг бўлсин:
. (1.9)
Равшанки, функция билан чизиқли боғлиқ бўлган функциялар кўринишга эга бўлади. бўлганидан , бўлади. Шу билан бирга . Булардан ва функцияларнинг чизиқли эрклилиги келиб чиқади. Демак, мос Вронский детерминанти

текширилаётган нуқтада нолдан фаркли бўлади. Шунинг учун системадан ва лар бир қийматли топилади:
; .
Буларни эътиборга олсак, Грин функцияси

кўринишга эга бўлади. ва функцияларга (1.6) формулани қўлласак, эканлиги келиб чиқади. ва хусусий ечимларни шундай танлаш мумкинки, натижада бўлади. Бу ҳолда қўйилган масаланинг Грин функцияси

формула билан аниқланади. Бу формуладан қўйилган масала учун Грин функциясининг симметриклиги кўриниб турибди.