Фазода Грин функцияси ёрдамида Лаплас тенгламаси учун қўйилган Дирихле масаласини ечишга доир мисоллар Режа

Фазода Грин функцияси ёрдамида Лаплас тенгламаси учун қўйилган Дирихле масаласини ечишга доир мисоллар
Режа

1. 
   Ярим фазо учун Дирихле масаласи.
   
2. 
   Шар учун Грин функцияси.
   
3. 
   Ярим шар учун Грин функцияси.
   

Ярим фазо учун Дирихле масаласи
Ушбу

соҳа учун Дирихле масаласи

бўлиб

шартни қаноатлантиради. Бизга маълумки бу масаланинг ечими u(x) ни Грин функцияси ёрдамида


(14)

топиш мумкин. (13) дан фойдаланиб (14) ни қуйидагича ёзамиз:

(15)
Шундай қилиб биз қуйидаги теоремани исботлашимиз мумкин:
Теорема. Агар функция текисликда чегараланган узлуксиз ёки узлуксиз ва

шарт бажарилса, у ҳолда
, , ,

ёки

Дирихле масаласининг ечими (15) формула ёрдамида топилади.

Шар учун грин функцияси

ва нуқтада сферага нисбатан симметрик функциялар булсин.

шарда ётсин, у холда

.

Бу симметрик нуқталар учун, ушбу

, (1)

мунасабатлар ўринли, яъни

(2)

Энди, биз бўлганда симметрик нуқталар учун, Ушбу

(3)
мунасабатнинг бажарилишини кўрсатамиз



(3^’)
Бундан фойдаланиб

лар учун Грин функциясини куйидагича тузамиз: - ҳолда фундаментал ечим, ушбу

кўринишда бўлади. Ушбу

функция у ўзгарувчи бўйича - шарда гармоник бўлади. Шунинг учун қуйидаги функция

шартни қаноатлантиради. Энди (4) дан фойдаланиб

- нормал бўйича олинган ҳосилани ҳисоблаймиз.

бундан фойдаланиб (4) Грин функциясини қуйидагича ёзиб оламиз:
(5)



бўлса,
.
у ҳолда

кўринишни олади.
- нормал векторнинг йўналиши радиус йўналиши билан бир хил, шунинг учун
.
а – радиус - йўналтирувчи косинуслар:
бу ерда


бундан фойдаланамиз.

э
нди, ушбу

Демак,

Грин функциянинг чегарадаги қиймати нол бўлгани учун, яъни

бўлади. Бундан фойдаланиб юқоридаги тенгликни қуйидагича ёзамиз:

Шундай қилиб,

Ушбу
,

-шар да


, , (6)
Дирихле масаласини ечамиз



ни Грин функциясидан фойдаланиб топамиз:


(7)

(7) га Пуассон формуласи дейилади.

Теорема. Агар
,

бўлса, у ҳолда ушбу

формула орқали аниқланган функция - шарда гармоник, яъни бўлиб,

чегаравий шартни да қаноатлантиради, яъни

бўлади.


Ярим шар учун Грин функцияси

, -радиус.
.

Шар учун ушбу

тенглик маълум. Энди

ни кўрсатамиз:

Бунинг учун




Грин функцияси.
, ,




эканлигини биламиз.


эканлигини кўрсатамиз:





чунки .
Демак,
.

1) ,

;
2)


,
чунки -ташқи нормал қарама – қарши йўналган.
















Адабиётлар

1.Салоҳитдинов М.С., Математик физика тенгламалари, Т., «Ўзбекистон», 2002.

2.Владимиров В.С., Уравнения математической физики, М, «Наука», 1981.
3.Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики, М, «Наука», 1977.
4. www.edu.uz www.arxiv.uz