1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

58. Қуйидаги чизиқлар оиласига ортогонал бўлган траекторияларни топинг: a) б) в)
59. Координата бошидан ўтувчи, ўқи OY ўқига параллел бўлган барча параболаларнинг дифференциал тенгламасини тузинг.
60. Шундай чизиқларни топингки, уларда ихтиёрий уринмаларнинг абсцисса ўқи билан кесишиш нуқтасининг абсциссаси уриниш нуқтасининг абсциссасидан икки марта ката бўлсин.
61. Шундай чизиқларни топингки, уларда ихтиёрий уринманинг абсциссалар ўқи билан кесишиш нуқтасининг абсциссаси, уриниш нуқтасининг абсциссаси ва ординатаси айирмасига тенг бўлсин.
62. Қуйидаги хоссага эга бўлган чизиқларни топинг: чизиққа ихтиёрий нуқтасидан ўтказилган уринма ва нормаларнинг абсцисса ўқидан ажратган кесмаси 2а га тенг.
2-§. БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ ЧИЗИҚЛИ ВА
УНГА КЕЛТИРИЛAДИГАН ТЕНГЛАМАЛАР.
ТЎЛИҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР


1. кўринишдаги тенглама биринчи тартибли чизиқли дифференциал тенглама дейилади. Бу тенгламани ечиш учун аввал унга мос бир жинсли (яъни бўлган) тенгламани ечиб олинади
(1)
Бу ўзгарувчилари ажраладиган тенглама бўлгани учун, уни интеграллаб қуйидагини оламиз:

ларда (1) тенгламанинг умумий ечими бўлади. Энди биз
(2)
тенгламанинг ечимини кўринишда қидириб кўрамиз, бу ерда – ҳозирча номаълум бўлган функция. номалум функцияни топиб олиш учун ҳосилани ҳисоблайлик:

Энди ни (2) га қўйсак қуйидагига эга бўламиз:

Охирги тенгликни интеграллаб

ифодани оламиз. Топилган ни ўрнига олиб бориб қўйсак, (2) нинг умумий ечими учун
(3)
формулага эга бўламиз.
Агар биз (2) тенгламанинг нуқтадан ўтувчи интеграл чизиғини топмоқчи бўлсак, (3) дан фойдаланиб, унинг кўриниши
(4)
эканлигига қийинчиликсиз ишонч ҳосил қилишимиз мумкин.
Демак, (2) тенгламанинг нуқтадан ўтувчи интеграл чизиғи (4) кўринишда ва умумий ечими (3) кўринишда экан.
Мисол. тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечими. Бир жинсли тенгламанинг умумий ечимини топиб олайлик

Энди ўзгармасни вариациялаймиз, яъни берилган тенгламанинг ечимини кўринишида излаймиз, бу ерда ҳозирча номаълум функция.

тенгламани қўйиб қуйидагини оламиз

Демак, берилган тенгламанинг умумий ечими кўринишда экан.
Албатта, охирги ифодани (3) формулани қўллаб ҳам олиш мумкин эди. Лекин жуда кўп мисоллларда бизга ўхшаб (3) формулани олиш учун қилинган барча ишни бажариб чиққан маъқулроқ.