1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

Мисол.
а) тенгламани ечинг.
Ечими. (6) тенгликни текшириб кўрамиз:

Демак, шарт бажарилади, яъни берилган тенглама тўлиқ дифференциал тенглама экан. Энди функцияни топишга ҳаракат қилайлик. Тушунарлики,

тенглик ўринли. Бундан эса қуйидаги ифодаларни оламиз:
(7)
Бу тенгламаларнинг биринчиси х бўйича интеграллаб,
(8)
тенгликни оламиз ва ўз навбатида бундан y бўйича дифференциаллаб га эга бўламиз. Иккинчи тенгликдан маълумки, шунинг учун Бу ердан ва ни (8) ифода ўрнига қўйиб,

ни оламиз. Демак, тенгламанинг ечими кўринишда бўлади.
б) тенгламани ечинг.
Ечими. (6) тенгликни текшириб кўрамиз:

Демак, шарт бажарилади, яъни берилган тенглама тўлиқ дифференциал тенглама экан. ни топишга ҳаракат қилайлик. Юқорида кўрганимиздек,

тенглик ўринли бўлгани учун

Бу тенгламаларни иккинчисини y бўйича интеграллаб,

тенгликни оламиз (эътибор беринг, – бу ерда аниқмас интеграл ҳосил бўладиган ихтиёрий ўзгармас C ўрнида келаяпти, x нинг функцияси бўлиб қолди, чунки интеграл остида икки ўзгарувчили функция) ва ўз навбатида бундан ни оламиз. Маълумки, биринчи тенгликка асосан , шунинг учун бу ердан ва ни ўрнига қўйиб, ни оламиз. Демак, тенгламанинг ечими кўринишда бўлади.
5. Интегралловчи кўпайтирувчи.
(5) тенгламанинг чап томонини бирор функциянинг тўлиқ дифференциали бўлмаса ҳам баъзан шундай функцияни қийинчиликсиз кўрсатиш мумкин бўладики, (5) тенгламанинг ҳар иккала томонини унга кўпайтирганимизда янги тенгламанинг чап томонини тўлиқ дифференциал бўлиб қолади:
(9)
Бундай функция интегралловчи кўпайтирувчи дейилади. Шуни ҳам эслатиб ўтиш керакки, интегралловчи кўпайтувчига кўпайтирилганда уни нолга айлантирувчи ортиқча хусусий ечимлар пайдо бўлиши мумкин. Уларни (5) тенгламага қўйиб кўриб, уни қаноатлантирмаса, чиқариб юборишга тўғри келади.