1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

Мисол. тенгламани ечинг.
Ечими. Характеристик тенгламаси бўлиб, оддий илдизларга эга, шунинг учун ечимнинг кўриниши қуйидагича бўлади:

2. Чизиқли бир жинсли бўлмаган, ўзгармас коэффициентли диф­ференциал тенгламанинг ўнг томони функцияларнинг йиғиндиси ва кўпайтмасидан иборат бўлса, унинг хусусий ечимини номаълум коэффициентлар методи билан қидириш мумкин.
Агар тенгламанинг ўнг томони кўринишда бўлса, (бу ерда ) хусусий ечим

кўринишда бўлади. Бунда – коэффициентлар ҳозирча номаъ­лум бўлган m тартибли кўпҳад, S эса қуйидагича аниқланади: агар (2) тенгламанинг илдизи бўлмаса, агар тенгламанинг pкаррали илдизи бўлса
кўпҳаднинг коэффициентларини топиш учун (6) ечимни берилган дифференциал тенгламага қўйиб, тенгликнинг ўнг ва чап томонидаги ўхшаш ҳадларнинг коэффициентларини тенглаш керак.
Агар ўнг томонида sin ва cos лар иштирок этиб қолса, бизга маълумки, улар Эйлар формуласи ёрдамида кўрсаткичли функциялар орқали ифодалаш мумкин:
(7)
У ҳолда масала ҳозир кўрилган ҳолга келади.
Агар тенглама чап томонининг коэффициентлари ҳақиқий бўлса, (7) комплекс функцияларсиз масалани ҳал қилиш мумкин.
Ўнг томони
(8)
кўринишда бўлган тенгламаларда хусусий ечимни
(9)
кўринишда қидириш мумкин. Бу ерда, агар (2) характеристик тенгламанинг илдизи бўлмаса, акс ҳолда S илдизнинг карралиги, ва – m-тартибли кўпҳадлар, ва кўпҳадларнинг коэффициентларини топиб олиш учун (9) хусусий ечими берилган тенгламага қўйиб, тенгликнинг ўнг ва чап томонидаги ўхшаш ҳадларнинг коэффициентларини тенглаштириш керак.
Шуни ҳам таъкидлаб ўтиш керакки, бир жинсли бўлмаган чизиқли тенгламанинг умумий ечими, шу тенгламанинг битта хусусий ечими билан унга мос келган бир жинсли тенгламалари йиғиндисига тенг. Ундан ташқари, агар тенгламанинг ўнг томони бир нечта функциялар йиғиндисидан иборат бўлса, унинг хусусий ечими шу тенглама чап томонидаги қўшилувчиларнинг ҳар бирига тенглаштириб олинган тенгламалар хусусий ечимлари йиғиндисидан иборат деб қараш мумкин.