1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

г) тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечими. Бир жинсли тенгламанинг умумий ечимини топиб оламиз: Бу тенгламанинг характеристик тенгламаси кўринишда бўлади, бундан ларни оламиз. Бир жинсли тенгламанинг умумий ечими

кўринишда бўлади.
Юқорида эслатилган қоидага кўра, бу тенгламанинг ўнг томони иккита ҳар хил функцияларнинг йиғиндиси бўлган учун тенгламанинг чап томони, унинг ўнг томонидаги қўшилувчиларнинг ҳар бирига тенглаштириб, хусусий ечимлар топамиз ва берилган тенгламанинг хусусий ечими сифатида уларнинг йиғиндисини оламиз.
II. тенгламанинг хусусий ечимини (6) кўринишда яъни ҳолда қидирамиз. Бизнинг мисолда ва демак, чунки характеристик тенгламанинг бир каррали илдизи, , чунки , шундай қилиб хусусий ечимни

кўришда қидириш керак экан. Буни тенгламага қўйиб


ларни оламиз. Демак, бу тенгламанинг хусусий ечими

кўринишда экан.
III. тенгламанинг хусусий ечими (9) кўринишда, яъни ҳолда қидирамиз. Бизнинг мисолимизда чунки ҳарактеристик тенгламанинг илдизи эмас, чунки

бўлиб, шундай қилиб, хусусий ечимни

кўринишда қидириш керак экан. Буни тенгламага қўйиб,

ларни оламиз. Бундан эса ўз навбатида хусусий ечимнинг

эканлиги келиб чиқади.
Юқорида айтилганига кўра, берилган тенгламанинг умумий ечимини топилган ечимларнинг йиғиндисидан иборат:

3.Ўзгармасни вариациялаш усули. Чизиқли бир жинсли бўл­маган
(10)
тенгламанинг ечишнинг умумий усулларидан бири ўзгармасни вариациялаш усулидир.
Фараз қилайлик, бир жинсли чизиқли

тенгламанинг умумий ечими топилган ва у кўринишда бўлсин. Бу ерда лар ихтиёрий ўзгармаслар, лар эса бир жинсли тенгламанинг фундаментал ечимлар системаси у ҳолда (10) тенгламанинг ечими,

кўринишда қидирилади. Бу ерда номаълум функцияларни топиб олиш учун
(12)
тенгламани системасини оламиз. Бу системанинг ечим­ларини топиб, уларни интеграллаб функцияларини оламиз. Буларни (11) га қўйиб, бир жинсли бўлмаган тенгла­манинг умумий ечимини оламиз. (12) системанинг ечимга эга экан­лиги функцияларнинг фундаментал ечимлар системаси эканлигидан келиб чиқади.