1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

Мисол. бўлса тенгламанинг уму­мий ечимини топинг.
Ечими. Остоградский-Лиувилл формуласига кўра қуйидагини оламиз:
(17)
бўлгани учун га нисбатан чизиқли дифференциал тенгламани оламиз, уни қуйидагича усул билан осонроқ ечиш мумкин:

ни охирги тенгликка қўйиб интеграллаймиз ва


тенгликларга эга бўламиз. Демак, берилган тенгламанинг умумий ечими

кўринишда бўлар экан.
6. Тушунарлики, олдинги пунктда берилиши талаб қилинган хусусий ечим доим ҳам маълум бўлавермайди, ундан ташқари хусусий ечимни топишнинг ҳатто иккинчи тартибли чизиқли тенгламалар учун ҳам умумий усули йўқ. Баъзи ҳолларда танлаб олиш йўли билан хусусий ечимни топишга эришиш мумкин. Бунда албатта берилган тенгламанинг ўнг томонидаги ифодага эътибор бериш керак, масалан, тенгламанинг ўнг томони полином бўлса, хусусий ечимни полином кўринишда, нинг функцияси кўрини­шида бўлса, хусусий ечимни ёки унинг функцияси кўринишида, агар нинг функцияси кўринишида бўлса, ёки унинг функ­цияси кўринишида қидирган маъқул ва ҳ.к.
Мисоллар.а) тенгламанинг кў­ринишдаги ечими мавжуд бўлса, уни топинг.
Ечими. ни тенгламага қўямиз:

келиб чиқади. Демак, берилган тенгламанинг хусусий ечими бўлар экан.
б) Худди шу юқоридаги тенгламанинг кўринишдаги ечими мавжуд бўлса, уни топинг.
Ечими. ни тенгламага қўйиб, аввало кўпҳаднинг тартибини топиб оламиз, бунинг учун ҳосил бўлган тенгликдаги x нинг энг катта даражаси олдидага коэффициентини нолга тенглаймиз:

бундан эса эканлиги келиб чиқади. Демак, кўпҳаднинг тартиби фақат 1 бўлиши мумкин, яъни хусусий ечимни кўринишда қидириш керак. Тенгламага қўямиз:

бундан эса ни оламиз. Демак, хусусий ечим кўринишда экан.