1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

Мисол. тенгламани ўзгармасни вариациялаш усу­ли билан ечинг.
Ечими. бир жинсли тенгламанинг умумий ечимини топиб олайлик. Характеристик тенгламаси бўлиб, бўлади. Шунинг учун, бир жинсли тенгламанинг ечими

кўринишда эканлиги келиб чиқади.
Энди берилган тенгламанинг ечимини

кўринишда излаймиз, буни тенгламага қўйиб (12) системани оламиз

Бу системани ечиб, ифодаларни, буларни интеграллаб эса ларни оламиз. Буларни олиб бориб ўрнига қўйиб

берилган тенгламани умумий ечимини оламиз.
4. Ушбу

ёки
(14)
кўринишдаги тенгламалар Эйлер тенгламаси дейилади. (13) тенглама алмаштириш билан, (14) тенглама эса алмаштириш билан чизиқли ўзгармас коэффициентли тенгламаларга келтириш мумкин. Бундай тенгламаларни ечиш эса аввалига пунктларда муфассал ўрганилди.
Мисол. Эйлер тенгламасини ечинг.
Ечими. алмаштириш бажарамиз. Тушунарлики, бундан

Энди тенгламага қўйиб

ифодани оламиз, бундан эса
(15)
ўзгармас коэффициентли тенгламани оламиз.
Аввало бир жинсли тенгламанинг умумий ечимини топиб оламиз. Характеристик тенгламаси кўри­нишда бўлгани учун унинг икки каррали илдизи.
Демак, бир жинсли тенгламанинг умумий ечими кўриншда экан.
(15)тенгламанинг хусусий ечимини кўринишда қиди­рамиз (2-пунктга қаранг). У ҳолда

келиб чиқади. Бундан эса хусусий ечим кўринишда эканлиги келиб чиқади. Энди (15) тенгламанинг умумий ечимини ёза оламиз:

Бундан эса эканлигини ҳисобга олиб, берилган тенгламанинг умумий ечимини оламиз.

5. Ўзгарувчи коэффициентли чизиқли дифференциал тенгламалар. Агар n-тартибли чизиқли бир жинсли дифференциал тенгламанинг хусусий ечими маълум бўлса, унинг тартибини чизиқлилиги­ни сақлаган ҳолда пасайтириш мумкин. Бунинг учун аввало ва кейин алмаштиришларни бажариш зарур.
тенгламанинг ҳусусий ечими маъ­лум бўлса, юқорида айтилган усул билан бу тенгламанинг тартибини пасайтириш мумкин. Лекин мана шу хусусий ҳолда Остоградский-Лиувилл формуласидан фойдаланган маъқулроқ:
(16)
бу ерда ва лар берилган тенгламанинг ихтиёрий чизиқли эркли ечимлари.