1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

3. Ляпунов функцияси ёрдамида турғунликка текшириш.
Ляпунов теоремаси. Бирор сон учун шартни қаноатлантирувчи ларда (2) системанинг ўнг томони аниқланган узулуксиз бўлиб, бўлсин. Ундан ташқари шу х ларда аниқланган, фақат координата бошида нолга тенг ва узлуксиз дифференциалла­нувчи Ляпунов функцияси мавжуд бўлиб, у
(7)
шартни қаноатлантирсин. У ҳолда ечим турғун бўлади.
Агар учун
(8)
(бу ерда да бўлган қандайдир узлуксиз функция) шарт ҳам бажарилса, нол ечим асимптотик турғун бўлади.
(1) системанинг ечими маълум бўлмаса, Ляпунов функ­цияси қуришнинг умумий усули йўқ, лекин баъзи ҳолларда бу функ­цияни квадратик форма шаклида, яъни кўринишига келтириб олиш мумкин бўлади.
Мисоллар.а)

системанинг тривиал ечимини турғунликка текширинг.
Ечими. Ляпунов функцияси сифатида ни оламиз. Биринчи­дан, иккинчидан, етарлича кичик x, y лар учун

Демак, юқорида баён этилган Ляпунов теоремасининг барча шартлари бажарилади, ечим – турғун ечим экан.
б)

системанинг тривиал ечимини турғунликка текширинг.
Ечими. функция Ляпунов теоремасининг иккинчи қисмини (асимптотик турғунликни таъминлайдиган шартни) қаноатлантиради. Ҳақиқатдан ҳам,
1)
2)
Демак,
Шундай қилиб, асимптотик турғун экан.
4. (9)
ҳақиқий коэффициентли кўпҳаднинг барча илдизлари ҳақиқий қисми манфий бўлиши учун шартлар.
(9) кўпҳад барча илдизларининг ҳақиқий қисми манфий бўлиши учун бўлиши зарурдир. бўлганда бу шарт етарлидир.
Раус-Гурвиц шарти. (9) кўпҳад барча илдизларининг ҳақиқий қисми манфий бўлиши учун ушбу Гурвиц матрицаси деб аталувчи матрицанинг

асосий диагонал минорлари мусбат бўлиши зарур ва етарлидир. Бу матрицанинг асосий диагоналида лар турибди. Ҳар бир сатрда элементларнинг индекси олдинги элемент индексидан 1 бирликка кичик. элемент ёки ларда нолга алмаштирилади. Гурвиц матрицасининг асосий диагонал минорлари:
(11)
Шу ҳам эслатиб қўйиш керакки, шартлардаги охирги ифода учун тенглик ўринли бўлгани учун шартни шарт билан алмаштириш мумкин.