1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

2.Биринчи яқинлашиш бўйича турғунликка текшириш. (1) тенг­ламанинг ечими бўлсин. Шу ечимни турғунликка текшириш учун нуқта атрофида функцияларнинг чизиқли қисмини ажратиб оли­нади, (масалан, ларни Телор формуласи ёрдамида ёйиш билан). Ҳосил бўлган системанинг нол ечимини турғунлигини қуйидаги тео­рема орқали текшириш мумкин.
Ляпунов теоремаси. Қуйидаги система берилган бўлсин:
(5)
бу ерда – ўзгармаслар – шундай функцияларки,

шарт бажарил­ганда

ўринли бўлади.
Агар (5) тенгламада

матрицанинг ҳамма хос сонлари манфий ҳақиқий қисмга эга бўлса, унинг нол ечими асимптотик турғун бўлади; бирорта хос сон­нинг ҳақиқий қисми мусбат бўлса, нол ечим турғун бўлмайди.
Мисоллар.а)

системанинг ечимни турғунликка текширинг.
Ечими.Юқоридаги теоремани қўллаб ечамиз. Биринчи яқинла­шиш бўйича қуйидаги системанинг ечимини турғунликка текширамиз:

Тушунарлики, характеристик тенгламаси

кўринишда бўлиб,
Демак, Ляпунов теоремасига кўра три­виал ечим асимптотик турғун.
б)

системанинг тривиал ечимини турғунликка текширинг.
Ечими. Тейлор формуласи ёрдамида ўнг томондаги функция­ларнинг чизиқли қисмини ажратиб оламиз.

бу ерда ва функциялар га тенг, яъни чексиз кичик. Коэффициентдан тузилган матрицанинг хос сонларини аниқласак,

бўлади.
Агар бўлса, илдизлар комплекс сонлар агар бўлса, илдиз­лар ҳақиқий ва манфий, демак, бу ҳолларда ечим асимптотик турғун бўлади.
Агар бўлса, битта илдиз мусбат бўлади ва демак, ечим асмп­тотик турғун эмас.
Агар бўлса, тенг бўлади ва турғунлик масаласини юқорида айтилган теорема орқали ҳал қилиб бўлмайди.