1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

3. тенглама алмаштириш ёрдамида ўзгарувчилари ажраладиган тенгламага келтириб ечилади.
Мисол. тенгламани ечинг .
Ечими. алмаштирини бажариб, ва тенгламага қўйиб ўзгарувчилари ажраладиган тенгламага эга бўламиз. Бу тенгламани ўзгарувчиларини ажратиб интеграллаймиз:

Бу ерда ҳам олдиндаги пунктдагидек ёки ечим йўқотилган бўлиши мумкин. Ҳақиқатдан ҳам тенгламанинг ечими ва буни ечимлар тўпламига қўшиб қўйиши учун деб олиш кифоя. Шундай қилиб, ифодани оламиз, эски ўзгарувчиларга қайтиб, тугал натижага эга бўламиз:

4. Агар ихтиёрий учун тенглик ўринли бўлса, га n-даражали бир жинсли функция дейилади. Масалан,

функциялар мос равишда 0, 1, 2, n-даражали бир жинслидир.
Агар 0-даражали бир жинсли функция бўлса,

бир жинсли тенглама дейилади. Хусусан, ва агар лар бир хил даражали бир жинсли функциялар бўлса, тенгламалар бир жинслидир.
Бундай тенгламалар алмаштириш ёрдамида ўзгарувчи­лари ажраладиган тенгламага келтирилиб ечилади.
Мисол. тенгламани ечинг.
Ечими. Тенгламанинг ҳар икала томони х, га бўлиб, кўринишдаги бир жинсли тенгламани оламиз. Энди юқорида айтилганидек, алмаштиришни қўллаймиз, у ҳолда

ни тенгламага қўйиб, қуйидагини оламиз:

Ҳосил бўлган тенгламанинг ўзгарувчиларини ажратиб ечамиз:

Бундан эски ўзгарувчиларга қайтиб

ифодани оламиз. Тенгликни хга бўлганимизда ечимни йўқоти­шимиз мумкин эди, тушунарлики, тенгламани ечими эмас, ҳатто аниқлаш соҳасига ҳам кирмайди.
5. тенглама координата бошини
ва
тўғри чизиқлар кесишадиган нуқтага кўчириш билан бир жинсли тенгламага келтирилади. Агар бу тўғри чизиқлар кесишмаса, тенглик ўринли бўлади ва демак, берилган тенглама кўринишда экан. Бундай тенгламалар (3 пункт) алмаштириш ёрдамида ўзгарувчилари ажраладиган тенгламага келтирилади.
Мисол. тенгламани ечинг.
Ечими. Тенгламани бир жинсли ҳолга келтириш учун
ва
тўғри чизиқларнинг кесишиш нуқтасини топиб координата бошини шу нуқтага кўчирамиз. Бунинг учун қуйидаги системани ечиб

ларни оламиз. Энди ва алмаштиришни бажарамиз, тушунарлики, бу алмаштиришда координата боши нуқтага кўчади.


Натижада, биз бир жинсли тенгламани олдик, уни ечиш учун алмаштиришни бажарамиз:

Бу тенгламани ўзгарувчиларини ажратиб ечамиз:

Эски ўзгарувчиларга қайтиб

Тенгликни га бўлганимизда ёки х вау ўзгарувчиларда ечимларни йўқотган бўлишимиз мумкин. ечимни топилган ечимлар тўпламига қўшиб қўйиш мумкин бунинг учун деб олиш кифоя. эса ечим ва уни ҳақиқатдан ҳам йўқотганмиз. Шундай қилиб,

ечимлар тўпламига эга бўламиз.