1-§. Yevklid fazosi. Vektorlar ustida metrik masalalar

Kurs ishining maqsadi. Yevklidining “Negizlar” asari. Yevklidning V postulotini o’rganish va amaliyotga joriy etish.
Kurs ishining vazifalari. Kursning maqsadidan kelib chiqqan holda quyidagi vazifalar belgilandi:

• 
  Yevklidining “Negizlar” asari. Yevklidning V postulotini o’rganishning asosiy tushunchalarini tahlil qilish;
  
• 
  Yevklidining “Negizlar” asari. Yevklidning V postulotini o’rganish bo‘yicha adabiyotlar to‘plash, tahlil qilish va ularning imkoniyatlari bilan tanishish;
  

-Yevklidining “Negizlar” asari. Yevklidning V postulotni o’rganish tavsifini ishlab chiqish;
-Yevklidining “Negizlar” asari. Yevklidning V postulotini o’rganish metod va vositalarini yaratish
-Kurs ishining obekti. Yevklidining “Negizlar” asari. Yevklidning V postulotini o’rganish mavzusini o‘qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti Yevklidining “Negizlar” asari. Yevklidning V postulotni o’rganishning usul, vositalari va o‘qitish texnologiyasi.
Kurs ishi tuzilmasining tavsifi. Kurs ishi kirish, uchta paragraf, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.
1-§.Yevklid fazosi.Vektorlar ustida metrik masalalar.
Yevklid fazosi aksiomalari.

Ma’lumki, affin fazosi akssiomalari sistemasi I-IV guruh aksiomalaridan iborat. Ixtiyoriy tabiatli to’plam elementlari affin fazoning I-IV guruh aksiomalarini qanoatlantirib, qo’shimcha ravishda yana quyida keltiriladigan metric aksiomalarni ham qanoatlantirsa, bunday ob’yektiv to’plamni Yevklid fazosa deyiladi:

V, 1^o. Har qanday ikkita vektorlari uchun
(1)
tenglik ko’rinishda yoziladigan va berilgan vektorlar skalyar ko’paytmasi deb ataladigan o’zgarmas son mos qo’yilgan.
V, 2^o. Vektorlarning skalyar ko’paytmasi kommutativ:
(2)
V, 3^o. Skalyar ko’paytma vektorlarni qo’shishga nisbatan distributivdir:
(3)
V, 4^o. Haqiqiy ko’paytuvchini skalyar ko’paytma belgisida tashqariga chiqarib yozish mumkin:
(4)
V, 5^o. vektorning skalyar kvatrati manfiy emas:
. (5)
Tenglik belgisi faqat 0 vektor uchun o’rinli.
Agar Yevklid fazosa ta’rifidagi fazo n-o’lchovli vektor fazo bo’lsa, bunday fazo n-o’lchamli Yevklid fazosi yoki Yevklid n-fazosi deyiladi.
Yuqoridagi keltirilgan aksiomatika I.F.Neyman tomonidan tavsiya etilgan.
2. Yevklid fazosa modellari. n-o’lchamli affin fazosi n-o’lchovli vektor (chiziqli) n-fazo modellari bo’la oladi. Shuning uchun biz ilgari ko’rib o’tilgan n-o’lchamli vektor fazoda skalyar ko’paytmani kiritib n-o’lchovli Yevklid fazosini hosil qilishimiz (modelini) mumkin.
Biz analitik geometriyada 3 o’lchovli Yevklid fazosida vektorlar orasidagi burchakni oriyentirlangan fazoda keltirilgan tushuncha va misollar ham 3-o’lchovli Yevklid fazosining modellari bo’la oladi modellari bo'la oladi.
Har bir vektor n ta haqiqiy sonlar shaklida beriladigan n-o’lchovli vector fazoda vektorlarning skalyar ko’paytmasi

Shaklida aniqlanadi.
n-darajali ko’phadlar fazosidan iborat n-o’lchovli vektor fazoda f(t) va g(t) ko’phadlarning skalyar ko’paytmasi

Shaklida aniqlanadi.
3. Nuqtalar orasidagi masofa.
Metrik aksiomalar Yevklid fazosida metrika yani nuqtalar orasidagi masofani kiritishga imkon beradi. vektorning modulini
(6)
Ko’rinishda aniqlaymiz.
Moduli (uzunligi) birga teng vektor birlik vektor deyiladi. birlik vektor deb belgilanadi.
A va B nuqtalar orasidagi masofa deb vektor moduliga aytiladi. Buni deb belglaymiz.
Demak, va nuqtalar orasidagi masofa
(7)
tenglikdan aniqlanadi.
Keltirilgan ushbu ta’riflardan quyidagilar kelib chiqadi:
1⁰. Masofa simmetrikdir: AB=BA (8)
2⁰. Masofa pozitivdir: AB , (9)
Bunda tenglik belgisi A va B nuqtalar ustma-ust tushgandagina o’rinli bo’ladi.
4. Uchburchak tengsizligi:
3⁰. Fazoning har qanday uchta, A, B, C, nuqtalari uchun
AC AB+BC (10)
tengsizligi o’rinlidir.
Har qanday ikki nuqatsi A va B lar uchun AB soni aniqlangan va 1⁰-3⁰ shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami metrik fazo deyiladi.
Uchburchak tengsizligini isbotlash uchun
(11)
Koshi tengsizligini isbotlash kifoya. Buning uchun yoki tengsizliklardan foydalanish kerak.
bo’lganda deb olaylik
Bu holda oxirgi tengsizlikni shakliga keltirish mumkin. Endi va nuqtalar uchun

Lekin Koshi tengsizligiga asosan
.
Demak,
Bundan (10) uchburchak tengsizligi kelib chiqadi.
5. Skalyar ko’paytmaning koordinatalardagi isboti.
Agar fazoda vektorlardan iborat bazis tayinlangan bo’lsa, u holda va vektorlar uchun skalyar ko’paytmasi
(13)
ko’rinishda yozish mumkin. (13) tenglikning o’ng tomoni koeffitsientli simmetrik bir chiziqli formadir.
vektorning skalyar kvatrati.
(14)
Ko’rinishda bo’ladi. (14) ning o’ng tomoni koeffitsiyentli kvadratik formadir.
va nuqtalar orasidagi AB masofa
(15)
tehglikyordamida aniqlanadi.
6. Ortogonallashtirish. N- o’lchovli Yevklid fazosida o’zaro perpendikulyar va birlik vektorlardan tashkil topgan bazisni hamma vaqt tanlash mumkin, yani shartlarni qanoatlantiruvchi bazisni tanlash mumkin. Bu shartlarni istalgan va uchun
(16)
Shaklda yozish mumkin.
Xaqiqatdan ham, n-o’lchovli fazoda vektorlardan tashkil topgan n ta chiziqli erkli vektorlar sistemasi mavjud. (16) shartlarni qanoatlantiruvchi vektorlarni vektorlardan ortogonallashtirish jarayoni yordamida aniqlash mumkin. Bu jarayon bilan chiziqli algebra kursida batafsil tanishib o’tiladi. Uning mazmunini keltiramiz. vektor sifatida ₁ ga kollinear ixtiyoriy vektorni olish mumkin. vektor sifatida va vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini olamizki (16) tenglik i=2, j=1,2 bo’lganda o’rinli bo’lsin vektor sifatida vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini olamizki, bunda (16) tenglik bajarilsin. Bu jarayonni chiziqli, bir jinsli tenglamlar sistemasini tuzib, uning noldan farqli yechimlarini aniqlashga keltiriladi. Bu jarayonni batafsil keltirib o’tirmaymiz.
7. Uyga vazifa: Quyidagi topshiriqlarni bajaring va savollarga javob bering
1^o n=4 o’lchovli fazo uchun ortogonallashtirish jarayoni yordamida erkli vektorlar sistemasidan ortonormal bazisini aniqlang.
2^o Yevklid fazosi uchun qanday modellar qurish mumkin?
3^o Yevklid fazosi qanday shartlarda metrik fazoga aylnadi?