1-§. Yevklid fazosi. Vektorlar ustida metrik masalalar

6-§.Yevkilidning V pastuloti va uni isbotlashga urinishlar

Geometriya tarixida Evkilidning beshinchi postuloti g’oyat muhim ro’l o’ynaydi.Bu postulot qadimgi zamondan buyon matematiklar diqqatini o’ziga jalb qilib keldi,ular geometriyani bu pastuloydan xolos qilish,undagi da’voni isbotlash,uni oldingi pastulot va aksiomalardan keltirib chiqarishga intildilar.Bunday qiziqishlarning sabablaridan biri,berilgan postulotlardan avvalgi to’rttasi o’z-o’zidan ayon bo’lib,beshinchi postulot ayonligi bevosita ko’rinib turmaganligidandir,ikkinchisi esa beshinchi postulotdan Evkilidning o’zi ham iloji boricha kam foydalanishga harakat qilganligidadir,undan faqat birinchi marta 29-jumlani isbotlashda foydalangan. Shunisi qiziqki, Evkiliddan so’ng qariyb 2000 yil mobaynida beshinchi postulotni isbotlashga urinib ko’rmagan birorta ham yirik matematik qolmagan.Lekin bu olimlarning ko’pchiligi Evkilidning postulot va aksiomalaridan aslida mantiqan kelib chiqadigan birorta jumlani olib (ko’plari uchun bu jumla ayon tuyilgan),so’ngra beshunchi postulotni isbotladim,deb davo qilganlar.Shunday olimlardan ba’zilarining ishlarini ta’kidlab o’tamiz.

1.Eramizdan avvalgi I asrda yashagan Posidiniy “Tekislikda to’g’ri chiziqdan bir tomonda va bir xil masofada yotgan nuqtalarning geometrik o’rni to’g’ri chiziq bo’ladi” degan jumlani isbotsiz qabul qilib beshinchi postulotni isbotlashga erishadi.
2.Grek matematiklaridan Proklning(410-485) “Kesishmaydigan ikki to’g’ri chiziq orasidagi masofa chegaralangan miqdorda’’(Prokl fikricha xatto o’zgarmas miqdordir) tasdiqlashi beshinchi postulotga ekvivalentdir.
3.Ozarbeyjon olimi Nasriddin Tusiy (1201-1272) ushbu fikrga asoslanadi:”Agar ikki a,b to’g’ri chiziqdan birinchisi AB kesmaga perpendikulyar (Aϵa, Bϵb,) ikkinchi esa og’ma bo’lsa, u vaqtda b to’g’ri chiziqdan a to’g’ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning AB ning b bilan o’tkir burchak tashkil qilgan tomondagisi AB dan kichik,b bilan o’tkir burchak tashkil qilgan tomondagisi esa AB dan kattadir” Shu farazga asoslanib beshinchi postulotga o’z “isbotini ” beradi.
4.Ingliz matematigi, Oksford universitetining professori Djon Vallis (1616-1703)
“Bir-biriga o’xshash, lekin teng bo’lmagan ikkita uchburchak mavjud”degan farazni qabul qilib , beshinchi postulotni “isbotlaydi”.
5.Vengr matematigi Farkash Bolyan (1775-1856) “Bir to’g’ri chiziqda yotmagan har qanday uchta nuqta bitta aylanada yotadi” yoki shunday tabiatli uch nuqtadan aylana o’tkazish mumkin degan farazga asoslanib, beshinchi postulot “isbotini” beradi va hokazo.
Shunga o’xshash ko’pgina olimlarning nomlarini keltirish mumkinki, ular o’zlari uchun ayon hisoblangan biror jumlani olib, beshinchi postulotni “isbotlashga ” muvaffaq bo’lganlar Lekin ularning ko’pchiligi,o’zlari qabul qilgan jumlaning beshinchi postulotga ekvivalent ekanini sezmay qolganlar. Avvalo isbotlari shu postulotga suyanmagan bir necha faktnu keltiraylik (Evkilid ham ularni beshinchi postulotdan foydalanmay isbotlagan):

1. 
   Uchburchakning tashqi burchagi o’ziga qo’shni bo’lmagan ichki burchaklarning har biridan katta.
   
2. 
   Tekislikda to’g’ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan bu to’g’ri chiziqqa parallel to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin.
   
3. 
   Bir to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan ikkita to’g’ri chiziq o’zaro parallel bo’ladi.
   
4. 
   Agar ikki to’g’ri chiziq biror to’g’ri chiziq bilan kesishsa va kesishishidan hosil bo’lgan ichki bir tomonli burchaklarning yig’indisi 180˚ ga teng bo’lsa , bu to’g’ri chiziqlar parallel bo’ladi.
   

Teorema. “Tekislikda to’g’ri chiziqda totmagan nuqta orqali shu to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan faqat bitta to’g’ri chiziq o’tadi” degan faraz beshinchi postulotga ekvivalent .(Djon Playfer ifodalagan parallellik aksiomasi.)
Isboti. 1. a to’g’ri chiziq va D nuqta tegishli emas a ga nuqta berilgan bo’lsin . D nuqtadan a to’g’ri chiziqqa DA ga perpendikulyar tushirib, D nuqtadan DA ga perpendikulyar b to’g’ri chiziqni o’tkazamiz: yuqoridagi b) jumlaga asosan a parallel b; D nuqtadan o’tib b dan farqli bo’lgan har qanday l to’g’ri chiziq DA to’g’ri chiziq bilan uning biror tomonida o’tkir burchak hosil qiladi. a bilan b ni kesib o’tgan DA to’g’ri chiziq to’g’ri chiziqning ular bilan hosil qilgan ichki bir tomonli burchaklaridan biri 90˚, ikkinchisi α bo’lib, ravshanki, α+90<180˚. U holda beshinchi postulotga asosan l to’g’ri chiziq a bilan kesishadi. Demak D nuqtadan o’tib, a bilan kesishmaydigan faqat bitta b to’g’ri chiziq mavjud.
2. Endi teskari da’voni, ya’ni beshinchi postulotni teorema sifatida isbotlaylik.
a, b to’g’ri chiziqlar berilgan bo’lsin. Ikkala to’g’ri chiziq bilan kesishadigan biror l to’g’ri chiziq o’tkazaylik. a∩l=C, b∩l=D bo’lsin. Ichki bir tomonli burchaklarni mos ravishda, α, β deb belgilab, α+β<180˚ shartda a bilan b ning shu tomonda kesishishini ko’rsataylik. D nuqtadan shunday c to’g’ri chiziq o’tkazaylikki, ỳ=α bo’lsin Ammo ...... ,demak ...>β va c to’g’ri chiziq b dan farqli .Yuqoridagi keltirilgan d) jumlaga asosan a...c. Playfer aksiomasiga asosan b bilan a to’g’ri chiziq kesishadi(parallel to’g’ri chiziqning yagonaligiga asosan).


Xulosa

Ma’lumki, affin fazosi akssiomalari sistemasi I-IV guruh aksiomalaridan iborat. Ixtiyoriy tabiatli to’plam elementlari affin fazoning I-IV guruh aksiomalarini qanoatlantirib, qo’shimcha ravishda yana quyida keltiriladigan metric aksiomalarni ham qanoatlantirsa, bunday ob’yektiv to’plamni Yevklid fazosa deyiladi:

1^o. Har qanday ikkita vektorlari uchun

tenglik ko’rinishda yoziladigan va berilgan vektorlar skalyar ko’paytmasi deb ataladigan o’zgarmas son mos qo’yilgan.
2^o. Vektorlarning skalyar ko’paytmasikommmutativ:

3^o. Skalyar ko’paytma vektorlarni qo’shishga nisbatan distributivdir:

4^o. Haqiqiy ko’pautuvchini skalyar ko’paytma belgisida tashqariga chiqarib yozish mumkin:

5^o. uektorning skalyar kvatrati manfiy emas:
.
Tenglik belgisi faqat 0 vektor uchun o’rinli.
Agar Yevklid fazosa ta’rifidagi fazo n-o’lchovli vektor fazo bo’lsa, bunday fazo n-o’lchamli Yevklid fazosi yoki Yevklid n-fazosi deyiladi.
Yuqoridagi keltirilgan aksiomatika I.F.Neyman tomonidan tavsiya etilgan.
2. Yevklid fazosa modellari. n-o’lchamli affin fazosi n-o’lchovli vector (chiziqli) n-fazo modellari bo’la oladi. Shuning uchun biz ilgari ko’rib o’tilgan n-o’lchamli vector fazoda skalyar ko’paytmani kiritib n-o’lchovli Yevklid fazosini hosil qilishimiz (modelini) mumkin.
Biz analitik geometriyada 3 o’lchovli Yevklid fazosida vektorlar orasidagi burchakni oriyentirlangan fazoda keltirilgan tushuncha va misollar ham 3-o’lchovli Yevklid fazosining modelllari bo’la oladi modellari bo'la oladi.
Har bir vektor n ta haqiqiy sonlar shaklida beriladigan n-o’lchovli vector fazoda vektorlarning skalyar ko’paytmasi

shaklida aniqlanadi.
Kurs ishi yuzasidan xulosalarimiz quyidagilardan iborat:
1. Yevklid fazosining Veyl aksiomalar sistemasini o’rganish foydalanish ta’lim samaradorligini aniqlash, mavjud kamchiliklarga barham berishga zamin tayyorlaydi.
2. Yevklid fazosining Veyl aksiomalar sistemasini o’rganish va bunday masalalarni yechish ustuvorligi nuqtai nazaridan, mavzu bo‘yicha mashg‘ulotlar sifatini oshirish, mashg‘ulotlar davomida yangi texnologiyalarni qo‘llash yuqorida keltirilgan maqsadga eltishga yordam beradi
4. Yevklid fazosining Veyl aksiomalar sistemasini o’rganish va yanada kengroq rivojlantirish zarur.
5. Yevklid fazosining Veyl aksiomalar sistemasini o’rganishni ishlab chiqish talabalar bilimini baholash tizimini yanada takomillashtiradi
6. Yevklid fazosining Veyl aksiomalar sistemasini o’rganish mavzuning talaba tomonidan o‘zlashtirilishini rivojlantiradi