1-§. Yevklid fazosi. Vektorlar ustida metrik masalalar

Transponirlangan operator.
Har qanday (4) ko’rinishdagi chiziqli operatorlar va ixtiyoriy vector uchun vektordan tashqari yana = vektorni mos qo’yish mumkin. yozuv chiziqli operatorning kovariant vektorlarga tadbiqini o’rganishda ishlatilgan edi. Lekin Yevklid fazosida kovariant vektorlar kontrovariant vektorlar bilan ustma-ust tushadi. Demak, Yevklid fazosida operatorni ham o’ngdan ham chapdan ko’paytirish mumkin ekan. funktsiya vector argumentli vektor chiziqli funktsiya bo’lib chiziqli bo’lish shartlarini va qanoatlantiradi. Bu funktsiyani qandaydir ^┬ operator yordamida ham tasvirlash mumkin bo’ladi:
= ^┬ (5)
Oxirgi (5) formula quyidagi formulaga teng kuchlidir:
= ^┬ x
Agar operator (4) ko’rinishda tasvirlangan bo’lsa, u holda ^┬ operator
^┬= (6)
Ko’rinishda tasvirlash mumkin. Quyidagi tengliklar o’rinlidir :
^┬ ( )= ^┬( ^┬ )=( ^{┬ ┬})
Oxirgi tenglikdan esa
^┬= ^{┬ ┬} (7)
tenglikni yozishimiz mumkin bo’ladi.
^┬ operator matritsasi elementlarini (1) ga asosan quyidagiga teng ekanligini ko’rish qiyin emas:
^┬ = (8)

Agar biz to’g’ri burchakli koordinatalar bilan ish ko’rayotgan bo’lsak, ya’ni va bo’lsa, u holda (8) formuladan ko’rinadiki, ^┬ operator matritsasi elementi ^┬ operator ning matritsasi elementi tengdir, boshqacha aytganda ^┬ operatorning to’g’ri burchakli koordinatalardagi yozilgan matritsasi elementlari operator matritsasini transpanirlash natijasida hosil qilinadi. Shunga asosan ^┬ operatorni operatorning transponirlash natijasida hosil qilingan, yoki qisqacha transponirlangan operator deyiladi.