1-§. Yevklid fazosi. Vektorlar ustida metrik masalalar

2-§. Yevklid operatorlari. Vektorlarning operator ko’paytmasi.
Simmmetrik operatorlar.


Operator matritsalari elementlarini hisoblash.
Aytaylik Yevklid fazosida bazis berilgan bo’lib - bu bazisga o’zaro bo’lgan bazis bo’lsin. o’zaro bazisni bilganimiz holda Yevklid fazosida berilgan bazisga nisbatan berilgan chiziqli operatorning matritsasining elementlarini juda osonlik bilan hisoblash mumkin. Haqiqatdan ham ( ) matritsa ta’rifiga asosan

Tenglik o’rinli bo’lib, elementlar vektorning koordinatalaridan iborat. Demak,

Formulani qo’llab quyidagilarga ega bo’lamiz: (1)
Shunday qilib va o’zaro bazislar ma’lum bo’lsa, u holda chiziqli operatorning ( ) matritsasi elementlari larni (1) formula yordamida hisoblash qiyin emas.
Vektorlarning operator ko’paytmasi.
Yevklid fazosida shunday amal operatsiyani aniqlash mumkinki, bu amal har qanday ikkita vektor uchun qandaydir chiziqli operatorni mos qo’yadi.
Haqiqatdan ham, agar va lar berilgan ikkita vektorlar bo’lsa, u holda
(2)
funktsiya va chiziqli funktsiya bo’lish shartlarini qanoatlantiradi. (2) tenglikda yozuv va vektorlarning skalyar ko’paytmasidir. Demak, (2) funktsiya vector argumentli vektor chiziqli funktsoya bo’ladi. Shuning uchun (2) funktsiyani ko’rinishda yozish mumkinki, bunda chiziqli operatorni
= ∙ (3)
ko’rinishda yozish mumkin. Bunday chiziqli operatorni va vektorlarnin`g operator o’paytmasi deb ataladi. operator har qanday vektorni vektorga kollinear vektorga o’tkazadi, vektorga perpendikulyar bo’lgan har qanday vektorni nol vektorga o’tkazadi.
(3) Operatorga (1) formulani qo’llab, bu operator matritsasining elementlarini hisoblash formulalarini hosil qilamiiz:
.
Agar Yevklid fazosida ixtiyoriy operator berilgan bo’lsa, u holda chiziqli operator bo’lish shartlariga asosan (chiziqli vektor funktsiya bo’lish shartlari) quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin:
yoki bunda tenglikdan foydalandik.
Oxirgi tenglikdan ko’rinadiki, Yevklid fazosida berilgan ixtiyoriy chiziqli opreratorni n ta operator ko’paytmalarining yig’indisi shaklida tasvirlash mumkin:
(4)