1-§. Yevklid fazosi. Vektorlar ustida metrik masalalar

Simmetrik operator.
chiziqli operator o’zining transponirlangan ^┬ noperatori bilan ustma-ust tushsa, ya’ni
^┬= (9)
bo’lsa, bu holda operator simmetrik operator deyiladi. Ko’rish mumkinki, (9) shart quyidagi shartlarga teng kuchlidir:
= (10)
Va
= (11)
Agar operator matritsasi elementlari (1) ko’rinishdagi tenzorlardan iborat bo’lsa, u holda tenzor tenzordan yuqori indeksini tushirib qolishi bilan aniqlangan quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
(12)
Lekin (11) tenglik yordamida bo’lib, bundan = tenglkni hosil qilamiz, boshqacha aytganda simmetrik operator bolan ish ko’rilayotganda tenzor ham simmetrik tenzordan iborat bo’ladi.
Agar biz to’g’ri burchakli koordinatalar bilan ish ko’rsak, bu holda bo’lib, va tenzorlarning son qiymatlari ham ustma-ust tushib, = tenglikdan shunday hulasa kelib chiqadi: to’g’ri burchakli koordinatalarda simmetrik operatorning matritsasi o’zining bosh dioganaliga nisbatan simmetrikmatritsa bo’ladi. Quyidagi operator simmetrik operatorga eng soda misol bo’ladi:
= .
Qiyshiq burchakli kososimetrik operator.
chiziqli operator uchun
^┬= ─ (13)
Tenglik o’rinli bo’lsa, ya’ni transponirlangan ^┬ operator operatorning qarama-qarshi ─ operatori bilan ustma-ust tushsa, u holda operator kososimmetrik operator deyiladi. Ko’ramizki, (13) shart
= ─ va = ─ (14) shartga teng kuchlidir. Agar perator matritsasi elementlari (1) ko’rinishdagi tenzordan iborat bo’lsa, tenzor (12) ko’rinishga ega bo’ladi. Ikkinchi tomondan (14) tengliklarga asosan
─ _i
Tenglik o’rinli bo’lib, = ─ tengliklarni yozishimiz mumkin. Boshqacha aytganda berilgan operator kososimmetrik operator bo’lsa, u holda tenzor ham kososimmetrik operator bo’ladi.
To’g’ri burchakli koordinatalarda son qiymat jihatdan ustma-ust tishadi va = ─ tenglikka ko’ra ayta olamizki, to’g’ri burchakli koordinatalarda kososimmetrik operator matritsasi o’zining bosh dioganaliga nisbatan kososimmetrik matritsa bo’ladi.
Eng soda kososimmetrik operatorga misol sifatida

Operatorni olish mumkin.