1-§. Yevklid fazosi. Vektorlar ustida metrik masalalar

5-§. Yevklidining “Negizlar” asari. Yevklidning V postuloti

Aksoimalarga asoslanib ilmiy nazariya qurish usuli. Asos qilib olingan aksiomalar tizimi (aksiomatika) muayyan nazariy tizimda isbotsiz haqiqiy deb qabul qilinadi. Boshqa nazariy bilimlar, xulosalar tola ravishda aksiomatikadan deduktiv yol bilan chiqariladi. Yansi tushunchalar nazariyaga formal tariflash yoli bilan kiritiladi. Aksiomalar tizimi ziddiyatsizlik, tolalik va bogliqsizlik shartlarini qanoatlantirishi lozim. Bitta ilmiy nazariyani turli aksiomalar tizimiga asoslanib ham qurish mumkin. Masalan, haqiqiy sonlar nazariyasining turli qurish usullari mavjud.

3 Matematikada Aksioma qadimgi yunon geometrlari asarlarida shakllana boshlagan. Yevklidning Negizlar (mil.avv.300-yillar) asarida bayon etilgan 272 geometrik sistema Aksioma bilan nazariya qurish namunasidir. 19- asrning ikkinchi yarmidan matematikaning turli sohalari aksioma bilan qurila boshlandi (turli geometryalar, arifmetika, ehtimollar nazariyasi va boshqalar). Aksiomaning keyingi tarraqqiyoti, mukammallashuvi D.Gilbert kiritgan formal sistema va formalizm metodi bilan bogliq. Qadimda fanlar, shu jumladan falsafaning turli bolimlari aksiomalar tarzida bayon qilishga urinib korilgan.(Nyuton, Spinoza, Farobiy va boshqalar)
4 YEVKLID NEGIZLAR Yevklidning asosiy matematik asari. Yevkliddan keyin Gipsikl (mil.avv.II asr) va miletlik Isidor (mil. Avv.VI asr) Yevklid Negizlarga XIV va XV kitoblarni qoshganlar, shuning uchun asar 15 kitobdan iborat ham deyiladi. Asarda Yevklid davrigacha bolgan yunon marematikasi bayon etiladi.
5 Yevklid Negizlar ida geometryani deduktiv asosda, yani aksiomatik usulda yoritiladi. Yevklid Negizlar ning I-IV kitoblari planemetrik kitoblar bolib, asosan, hozirgi orta maktab dasturiga kirga planemetrya bayon etilgan. V-VI kitoblarida geometrik miqdorlar (kesmalar, yuzalar) ning nisbatlari nazariyasi bayon etiladi.Bunda Yevdoks Knidlikning nisbatlari nazariyasi asos qilib olingan. VII-IX kitoblar arifmetik kitoblar bolib, butun sonlarga asoslangan nazariy arifmetika bayon etiladi. X kitobda irrotsionalliklar nazariyasi va tarifi beriladi. XI-XIII va qoshimcha XIV-XV kitoblar stereometryaga bagishlangan Yevklid Negizlari kamchiliklardan ham holi emas. Masalan, nuqta, togri chiziq va boshqa geometrik obrazlarning tarifi mantiqiy nuqtai nazardan nuqsonli hisoblanadi. Asarda zaruriyatsiz kiritilgan aksiomalar mavjud (masalan, aksioma sifatida ilingan hamma to’g’ri burchaklar o’zaro teng degan iborani isbotlash mumkin), geometryani aksiomatik asosda qurish uchun zarur bolgan harakat aksiomalari va tartib aksiomalari berilmagan, vaholanki asarda ulardan foydalanilgan. Yevklid negizlari - Yevklidning asosiy matematik asari. 13 kitobdan iborat bo’lgan. Yevkliddan keyin Gipsikl (mil. av. 2-asr) va miletlik Isidor (mil. av. 6-asr) Yevklid "Negizlari"ga XIV va XV kitoblarni qo’shganlar; shuning uchun asar 15 kitobdan iborat ham deyiladi. Asarda Yevklid davrigacha bo’lgan yunon matematikasi bayon etiladi. Yevklid "Negizlari"da geom. deduktiv asosda, yaʼni aksiomatik usulda yoritiladi; birinchi jumla (tasdiq) lar isbotsiz qabul qilinib, qolgan hamma da’volar - teoremalar shu aksiomalardan xulosa tariqasida chiqariladi. Yevklid "Negizlari"ning 1-1U kitoblari planemetrik kitoblar bo’lib, asosan, hozirgi o’rta maktab dasturiga kirgan planemetriya bayon etiladi. V- VI kitoblarida geometrik miqdorlar (kesmalar, yuzalar) ning nisbatlari nazariyasi bayon etiladi. Bunda Yevdoks Knidlikning nisbatlar nazariyasi asos qilib olingan. VII-IX kitoblar arifmetik kitoblar bo’lib, butun sonlarga asoslangan nazariy arifmetika bayon etiladi. X kitobda irratsionalliklar nazariyasi va tasnifi beriladi. XI-XIII va qo’shimcha XIV-XV kitoblar stereometriya ga bag’ishlangan. Yevklid "Negizlari" kamchiliklardan ham xoli emas. Masalan: nuqta, to’g’ri chiziq va b. geometrik obrazlarning taʼrifi mantiqiy nuqtai nazardan nuqsonli hisoblanadi. Asarda zaruriyatsiz kiritilgan aksiomalar mavjud (masalan: aksioma sifatida olingan „Hamma to’g’ri burchaklar o’zaro teng“, degan iborani isbotlash mumkin), geometriyani aksiomatik asosda qurish uchun zarur bo’lgan harakat aksiomalari va tartib aksiomalari berilmagan, vaholanki asarda ulardan foydalanilgan
Aksiomatik metod birinchi marta qadimgi yunon geometrlari asarlarida shakllana boshlagan. Evklidning «Negizlar» (miloddan avval 300-yillar) asarida bayon etilgan geo­metrik sistema aksiomatik usul bilan nazariya qurish namunasidir. Bu asar jami bo‘lib 13 bobdan iborat bo‘lib, uning 1-4 boblarida planimetriyaning aksiomatik nazariyasi qurilgan. Mazkur geometriyaning asosiy aksiomatik tushunchalari «nuqta», «to‘g‘ri chiziq», «tekislik» bo‘lib, ular ideal fazoviy obyektlar sifatida olib qaralgan; geometriyaning o‘zi esa fizikaviy fazoning xususiyatlarini o‘rganuvchi ta’limot sifatida talqin qilingan. Evklid geometriyasining qolgan barcha tushunchalari ular yordamida hosil qilingan.
Evklidning «Negizlari» deyarli barcha dunyo tillariga tarjima qilingan. 
19-asr oxiri va 20-asr boshlarida turli geometriyalar (Lobachevskiy geometriyasi, Proektiv geometriya, Riman geometriyasi kabi), algebralar (Bul algebrasi, kvaternionlar algebrasi, Keli algebrasi kabi), cheksiz o‘lchovli fazolar kabi mazmunan juda xilma-xil, ko‘pincha sun’iy tabiatli ob’yektlar o‘rganila boshlanishi bilan matematikaning yuqoridagi ta’rifi o‘ta tor bo‘lib qolgan. Bu davrda matematik mantiq va to‘plamlar nazariyasi asosida o‘ziga xos mushohada uslubi hamda tili shakllanishi natijasida matematikada eng aso­siy xususiyat - qatiy mantiqiy mu­shohada, degan g‘oya vujudga keldi (J. Peano, G. Frege, B. Rassel, D. Gilbert).
19-asr oxiri- 20-asr boshlariga kelib matematika asoslarini mustahkamlash bo‘yicha katta qadamlar qo‘yildi: haqiqiy sonlar nazariyasi tugallandi (Veyershtrass, Dedekind), matematik mantiq shakllandi (Peano, Frege), funksiyalar nazariyasi yaratildi (Riman, Lebeg, Fubini, Stiltes), geometriyaning aksiomalar sistemasi takomilga etkazildi (Gilbert), to‘plam tushunchasining ahamiyati anglandi, bu tushuncha asosida geometriya kabi butun matematikani ham qat’iy aksiomalar asosiga qurishga ishonch paydo bo‘ldi.
19-asr ikkinchi yarmidan matematikaning turli sohalari aksiomatik metod bilan qurila boshlandi (turli geometriyalar, arifmetika, ehtimolliklar nazariyasi va b.). Aksiomatik metodning keyingi taraqqiyoti, mukammalashuvi D. Gilbert kiritgan formal sistema va forma­lizm metodi bilan bog‘liq.
Ammo matematika asoslariga chuqurroq kirishilgani sayin muammolar ham o‘tkirlashib bordi. 20-asrning boshlari matematika tarixidagi eng chuqur inqirozga to‘qnash keldi - matematikaning asoslarida chuqur ziddiyatlar ochila boshladi (Burali - Forti, Rassel, Rishar, Grelling paradokslari). Ularni yengib o‘tish yo‘lidagi urinishlar natijasida to‘plamlar nazariyasining aksiomatik nazariyasi yaratildi (Sermelo, Frenkel, Bernays, J. Fon Neyman) va «matematika binosi yaxlit mukammal loyiha asosiga qurilgani» haqidagi Gilbert tasavvuri qayta tiklandi.
Struktura deb o‘zaro bog‘langan va shartlangan munosabatda bo‘lgan elementlardan tashkil topuvchi butunlik tushuniladi. Strukturaga bunday yondashuv o‘rganilayotgan obyektni uni tashkil etgan elementlar o‘rtasidagi ichki aloqa va bog‘liqlikni yoritishni talab etadi
20-asr o‘rtalarida Burbaki^[4] taxallusi ostida matematika asoslarini qayta ko‘rib chiqqan bir guruh fransuz matematiklari «Matematika -matematik strukturalar majmuasi » degan ta’rif kiritdi.
XX asr boshqa fanlar taraqqiyotida bo‘lgani kabi gumanitar, xususan lingvistika tarixida ham asosiy e’tiborning ob’yektga substansional nuqtai nazardan yondashuvdan struktur-funksional nuqtai nazardan yondashuvga o‘tishi bilan xarakterlanadi. Bunga F.de Sossyurning “Umumiy lingvistika kursi”da bayon qilingan “til substansiya emas, balki shakldir” degan bosh g‘oyasi sababchi bo‘ldi.
Struktura tilshunoslik tilga belgilar sistemasi sifatida qaraydi va tilshunoslikni belgi nazariyasi bilan shug‘ullanuvchi semiotikaning tarkibiy qismi deb baholaydi.
Hozirgi zamon tilshunosligida til o‘ziga xos semiologik sistema (belgi-ishoralar sistemasi), ya’ni “til g‘oyalarni ifodalovchi belgilar sistemasi” ekanligi qabul qilinib, jamiyatda asosiy va eng muhim fikr almashish quroli, jamiyat tafakkurining rivojlanishini ta’minlovchi, avloddan-avlodga madaniy-tarixiy an’analarni etkazuvchi vosita xizmatini o‘tashi taqidlangan.
Tilni hosil qilgan lingvistik ob’yektlar ularga ma’lum darajada o‘xshash matematik strukturalar yordamida yaxshi ifodalanishi ma’lum.
Shuning uchun ham hozirgi zamonda matematik usullar gumanitar fanlarning asosi bo’lmish tilshunoslikda uchraydigan hodisalarni va faktlarini tushuntirishga va bashorat qilishga qodir bo‘lgan matematik modellarini qurishga hamda tahlil qilishga samarali qo‘llanilmoqda. 
20-asrning 50-yillardan boshlab matematikaning tabiiy tilni hosil qilgan ob’yektlar bilan ba’zi bir jihatlardan o‘xshash bo‘lgan mavhum strukturalarni o‘rganuvchi matematik lingvistika (lot. lingua – til) deb nomlangan fan vujudga keldi.
Ko‘pincha tilshunoslikda matematik usullarni qo‘llash intuitiv tarzda qo‘yilgan masalani bitta yoki bir nechta soddaroq va mantiqan to‘g‘ri qo‘yilgan matematik masalalar bilan almashtirsa bo‘ladi. Odatda bunday masalalar algoritmik yechimga ega, shuning uchun ham bunday yondashish zamonaviy kompyuter vositalari yordamida og‘zaki muloqotning avtomatik tarzda analiz va sintez qilish, axborotlarni qayta ishlash, avtomatik tarjima tizimlarini yaratish uchun zarurdir.
Shu bilan birga matnlarni lingvistik jihatdan tahlil qilish, leksiko-grammatik hodisalarni topish, funksional va pragmatik tomondan matnning strukturaviy-semantik va stilistik xususiyatlarini anglashida ma’lum darajada matematik taffakkur metodlaridan foydalanishi maqsadga muvofiq^[5].
Matematik lingvistika tilshunoslik bo‘limi sifatida tabiiy til­lar hodisalarini va ularni tadqiq etish jarayonlarini mavhumiy-semiotik modellashtirish usulidan foydalanadi; matematik fan sifatida esa ana shu modellarning eng umumiy xossalarini tadqiq etadi va ularning tuzilish usullarini o‘rganadi.
Uning asosiy tushunchalari - asos qilib olingan belgi-ishoralar (alifbo, lug‘at) va ma’lum alifbo belgi-ishoralarining ketma-ketliklari (so‘z shakllar, iboralar) kabi tushunchalardir. Bu asosiy tushunchalar tilshunoslikning har bir sathida qo‘llanadi. SHuning uchun ham o‘z maqsad-vazifasiga kura, matematik lingvistika eng avvalo nazariy tilshunoslik vositasi hisoblanadi.