Задача 1: По кругу расставлены 14 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых четырех чисел, стоящих подряд, равна 30. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 15. Задача 2

Задача 1: По кругу расставлены 14 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых четырех чисел, стоящих подряд, равна 30. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 15.
Задача 2: В лавке можно обменять шило на мыло, или 3 мыла на 1 шило, или 1 мыло на 4 шила (но не наоборот). После нескольких обменов у Сережи оказалось столько же шила и мыла, сколько было вначале. Докажите, что количество сделанных обменов делится на 16.
(С.Иванов)
Задача 3: На сторонах AB и BC треугольника ABC с углом ∠ C = 40 выбраны точки D и E такие, что ∠ BED = 20. Докажите, что AC + EC > AD.
(А.Пастор)
Задача 4: Можно ли клетчатый бумажный квадрат 14 × 14 клеток разрезать «по клеточкам» на несколько прямоугольников, каждый из которых имеет размеры 2 × 5 или 3 × 9 клеток?
(Д.Карпов)
Задача 5: Найдите все тройки натуральных чисел x, y, z такие, что xyz = 170170 и x²y + y²z + z²x = xy² + yz² + zx².
(Ф.Бахарев)

Задачная база >> Санкт-Петербургские (Ленинградские) соревнования >> Городская олимпиада >> 2001 >> Районный тур >> 8 класс >> I вариант

Показать решения

Задача 1:
Квадратные трехчлены f и g с целыми коэффициентами принимают только положительные значения и при всех вещественных x. Докажите, что при всех вещественных x.
(А.Храбров)
Задача 2:
Компьютер «Intel Пень-V» умеет выполнять с числом только одну операцию: он прибавляет к нему 1, а затем в полученном числе переставляет все нули в конец, а остальные цифры — как угодно (например, из числа 1004 он может получить 1500 или 5100). В компьютер ввели число 12345, и после выполнени 400 операций на экране оказалось число 100000. Сколько раз за это врем на экране компьютера появлялось число, оканчивающееся на ноль?