Задача 1: По кругу расставлены 14 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых четырех чисел, стоящих подряд, равна 30. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 15. Задача 2

Задача 4:
Решите систему уравнений в вещественных числах

Задача 5:
Федя и Кристина стартуют с одного и того же места и равномерно движутся по прямой линии в одном направлении. Федя спокойно идет, а Кристина бежит. Пробежав 500 своих шагов, Кристина поворачивает обратно. В этот момент Федя начинает считать свои шаги и насчитывает до встречи с Кристиной 100 (своих) шага. Чьи шаги длиннее: идущего Феди или бегущей Кристины?
(Ф.Назаров)

	Задачная база >> Санкт-Петербургские (Ленинградские) соревнования >> Городская олимпиада >> 2001 >> Районный тур >> 9 класс >> II вариант
Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. 2001. Районный тур. 10 класс. I вариант

Задача 1:
f(x) и g(x) — квадратные трехчлены, старшие коэффициенты которых равны единице. Известно, что трехчлен f(x) + g(x) имеет два различных корня, и каждый из этих корней является также корнем уравнения f(x) – g(x)³ = 0. Докажите, что трехчлены f(x) и g(x) равны.
Задача 2:
По кругу расставлены 120 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых 35 чисел, стоящих подряд, равна 200. Докажите, что все расставленные числа не превосходят 30.
Задача 3:
Федя и Наташа стартуют с одного и того же места и равномерно движутся по прямой линии в одном направлении. Федя спокойно идет, а Наташа бежит. Пробежав 400 своих шагов, Наташа поворачивает обратно. В этот момент Федя начинает считать свои шаги и насчитывает до встречи с Наташей 100 (своих) шагов. Докажите, что шаги идущего Феди короче шагов бегущей Наташи.
Задача 4:
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный перпендикуляр стороны AB в точке X, серединный перпендикуляр стороны AC — в точке Y, а описанную окружность треугольника — в точке Z. Точки A, X, Y, Z лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что AX = YZ.
Задача 5:
Можно ли бумажный прямоугольник размера 103 × 49 разрезать «по клеточкам» на несколько прямоугольников, каждый из которых имеет размеры 7 × 9, 7 × 14 или 9 × 14?