Задача 1: По кругу расставлены 14 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых четырех чисел, стоящих подряд, равна 30. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 15. Задача 2

Задача 6:
Решите в натуральных числах уравнение k^m + mⁿ = kⁿ + 1.
(В.Франк)
Задача 7:
В международной олимпиаде участвует 300 школьников. Каждый школьник разговаривает ровно на двух из шести официальных языков олимпиады, а каждым языком владеет ровно сто школьников (известно, что школьники разговаривают только на официальных языках). Докажите, что организаторы могут так рассадить участников за круглым столом, чтобы никакие два соседа не говорили на одном языке.
(Ю.Лифшиц)

Задачная база >> Санкт-Петербургские (Ленинградские) соревнования >> Городская олимпиада >> 2001 >> Городской тур >> 9 класс

Задача 1:
В клетках квадратной таблицы 10 × 10 стоят ненулевые цифры. В каждой строчке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр составлено 10-значное число. Может ли оказаться, что из получившихся 20 чисел ровно одно не делится на 3?
Задача 2:
По кругу расставлены 120 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых 35 чисел, стоящих подряд, равна 200. Докажите, что все расставленные числа не превосходят 30.
Задача 3:
Дан остроугольный равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). E — точка пересечения перпендикуляра к стороне BC, восставленного в точке B, и перпендикуляра к основанию AC, восставленного в точке C. D — точка пересечения перпендикуляра к стороне AB, восставленного в точке A, с продолжением стороны BC. На продолжении основания AC (за точку C) отметили точку F так, что CF = AD. Докажите, что EF = ED.
(Ф.Бахарев)
Задача 4:
Решите систему уравнений в вещественных числах

Задача 5:
Федя и Наташа стартуют с одного и того же места и равномерно движутся по прямой линии в одном направлении. Федя спокойно идет, а Наташа бежит. Пробежав 400 своих шагов, Наташа поворачивает обратно. В этот момент Федя начинает считать свои шаги и насчитывает до встречи с Наташей 100 (своих) шагов. Чьи шаги длиннее: идущего Феди или бегущей Наташи?
(Ф.Назаров)

Задачная база >> Санкт-Петербургские (Ленинградские) соревнования >> Городская олимпиада >> 2001 >> Районный тур >> 9 класс >> I вариант

Задача 1:
В клетках прямоугольной таблицы 9 × 11 стоят ненулевые цифры. В каждой строчке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр составлено многозначное число. Может ли оказаться, что из получившихся 20 чисел ровно одно не делится на 3?
Задача 2:
По кругу расставлены 100 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых 45 чисел, стоящих подряд, равна 250. Докажите, что все расставленные числа не превосходят 30.
Задача 3:
Дан остроугольный равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). E — точка пересечения перпендикуляра к стороне AB, восставленного в точке B, и прямой AC. D — точка пересечения перпендикуляра к стороне BC, восставленного в точке C, и прямой AB. На перпендикуляре к основанию AC, восставленном в точке A, отметили точку F так, что AF = CD. Докажите, что DE = EF.