Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Подгруппы, циклические подгруппы. Циклические группы

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
В. Д. Бочкарева
Алгебра в примерах и задачах.
Результант. Дискриминант. Системы двух алгебраических уравнений
с двумя неизвестными и их решение методом исключения

Учебно-методическое пособие

Саранск 2012
Подгруппы, циклические подгруппы. Циклические группы

Подгруппой группы относительно внутренней бинарной операции называется такое непустое подмножество множества , на котором относительно суженной операции выполняются все аксиомы групп:

1. 
   для любых элементов их композиция ,
   
2. 
   операция ассоциативна на ,
   
3. 
   относительно операции в существует нейтральный элемент , т. е. такой элемент, что для любого ,
   
4. 
   операция на симметризуема, т. е. для любого элемента в существует симметрический элемент , т. е. такой элемент, что .
   

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы было подгруппой группы : если – непустое подмножество множества относительно операции и для любых и выполняется , то – подгруппа группы .
Задача 57. Определить, является ли подгруппой аддитивной группы вещественных чисел.
Решение. Применим критерий подгруппы. Пусть , ( )– элементы множества .
Тогда – элемент, противоположный к . Проверим, как ведет себя сумма : , , , т. е. . Следовательно, – подгруппа аддитивной группы .
Задача 58. Определить будет ли множество положительных вещественных чисел мультипликативной подгруппой аддитивной группы вещественных чисел.
Решение. Ответ отрицательный, так как речь идет о различных операциях.
Пусть дана группа – группа относительно операции . Пусть . Возьмем все целые рациональные степени этого элемента : , , , , , где – нейтральный элемент группы, – элемент симметричный к элементу в группе .
В результате получено множество , которое является относительно подгруппой группы и называется циклической подгруппой, порожденной элементом . Циклическая подгруппа, порожденная элементом обозначается символом .
Если группа , то она называется циклической группой.