Практическая работа. Устойчивость линейных систем автоматического управления

1. Практическая работа.
Устойчивость линейных систем автоматического управления.
Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения
(1)
Из алгебраических критериев устойчивости наиболее ши­рокое распространение получили критерии устойчивости Раусса и Гурвица.
Прежде чем познакомиться с ними, заметим, что необходи­мым условием устойчивости системы любого порядка является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения (1):
а₀>0; а₁>0; …...; а_н>0. (2)
Действительно, в соответствии с теоремой Безу уравнение (1) можно представить в виде произведения множителей, содержащих корни с₁, с₂,…., с_н:
(3)
Если все корни характеристического уравнения будут от­рицательны, то все множители выражения (3) будут иметь вид
(4)
где значения корней.
Производя перемножение в (4), получим (1), в кото­ром все коэффициенты будут определяться положительными членами выражения (4), т. е. будут положительны.
Если характеристическое уравнение (1) имеет комплекс­ные корни с отрицательными вещественными частями, то оно может быть представлено в виде
или

Уравнение (4) также приводится к виду уравнения (1) с положительными коэффициентами.
Для систем первого и второго порядков необходимое условие устойчивости является и достаточным условием устойчиво­сти, поскольку в этом случае при положительных коэффи­циентах характеристического уравнения все его корни явля­ются левыми. Однако для систем третьего и высших порядков положительность коэффициентов характеристического урав­нения является необходимым условием устойчивости, но не достаточным. В этом случае все вещественные корни характе­ристического уравнения (если они есть) левые, комплексные же корни могут быть и правыми.
Критерии устойчивости Раусса и Гурвица позволяют по коэффициентам характеристического уравнения (1) без вы­числения его корней сделать вывод об устойчивости системы.
Пример 1.
Проверить с помощью критерия Гурвица устойчивость системы третьего порядка, дифференциальное уравнение которой имеет вид
.
Запишем ее характеристическое уравнение

и составим из коэффициентов матрицу Гурвица
.
Получим следующие условия устойчивости системы:
1) ;
2) ;
3) или .
Поскольку положительность всех коэффициентов характеристического уравнения следует из необходимого условия, условие устойчивости системы третьего порядка принимает вид
.
Данное условие можно рассматривать как частный случай критерия Гурвица, т. е. оно является необходимым и достаточным условием устойчивости для систем третьего порядка.
Пример 2.
Проверить устойчивость системы управления (рис.1.) с помощью критерия Найквиста