Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Подгруппы, циклические подгруппы. Циклические группы

Нормальный делитель группы. Фактор-группа

Если в группе относительно подгруппы при любом элементе , т. е. если любой элемент группы перестановочен с подгруппой , то подгруппа называется нормальным делителем группы .

Если операция в группе коммутативна, то любая подгруппа в группе является нормальным делителем. Если при левостороннем и при правостороннем разложении группы по подгруппе смежные классы, на которые распадается группа , получаются одинаковыми, то – нормальный делитель группы . Верно и обратное: если – нормальный делитель в группе , то при левостороннем и при правостороннем разложении группы по подгруппе смежные классы, на которые распадается группа , получаются одинаковыми.
является нормальным делителем группы тогда и только тогда, когда при любом и любом элемент .
Задача 65. Если индекс подгруппы группы равен 2, то – нормальный делитель группы .
Решение. Если подгруппа имеет индекс 2 в группе , то , где и , т. е. . Следовательно, классы смежности левостороннего разложения совпадают с соответствующими классами правостороннего разложения, т. е. – нормальный делитель группы .
Задача 66. Будет ли группа в задаче 63 нормальным делителем в группе ?
Решение. Левостороннее разложение группы по подгруппе состоит из классов , и . Правостороннее разложение состоит из классов , , , но , , т. е. подгруппа не является нормальным делителем группы .
Задача 67. Найти фактор-группу группы по подгруппе всех чисел, кратных 3.
Решение. Так как сложение в коммутативно, то – нормальный делитель. Найдем разложение по : . Фактор-множество состоит из классов . Зададим на операцию сложения:

Заполнение таблицы Кэли осуществляется по правилу:
.
Например, . Это множество состоит из всех целых чисел , где , т. е. , . Тогда . Итак, мы получили фактор-группу , операция сложения в которой задана вышеука-занной таблицей Кэли.