Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Подгруппы, циклические подгруппы. Циклические группы

Задача 59. В группе найти циклическую группу, порожденную элементом 2.
Решение. , , , , , . Дальше, при получении «целых рациональных степеней» имеет повторения. Следовательно, мы получим замкнутое относительно операции сложения множество , причем, , , , , . Согласно критерия подгруппы имеем, что – подгруппа группы , порожденная элементом 2: .
Задача 60. Будет ли мультипликативная группа циклической?
Решение.
Определение. Группа будет циклической, если в ней существует порождающий элемент. В в роли порождающего элемента могут выступать два элемента: и . Выясним, может ли быть порождающим элементом. Составим целые рациональные степени элемента : , , . Ни одна степень элемента не дает элемент , т. е. не является порождающим элементом. Проверим элемент : , , , . Элемент является порождающим для , т. е. – циклическая группа.
Смежные классы. Разложение группы по подгруппе

Пусть – группа, – ее подгруппа, – произвольный элемент группы . Составим множество . Это непустое множество, называется левым смежным классом группы по подгруппе , определяемым элементом . Множество называется правым смежным классом группы по подгруппе , определяемым элементом . В общем случае .

Задача 61. В найти правый и левый смежные классы, определяе-мые элементом , если подгруппа .
Решение.

.
Составим классы
.
.
Заметим, .
Пусть – группа и – ее подгруппа.
Если , то говорят, что группа по подгруппе разложена на один смежный класс.
Если , то в существует элемент и тогда составим класс .
Если , то говорят, что группа по подгруппе разложена на два левых смежных класса .
Если , то имеем разложение группы на три смежных класса по подгруппе и т. д.
Процесс разложения группы по подгруппе на левые смежные классы может быть конечным, может быть бесконечным.
Аналогично можно получить разложение группы по подгруппе на правые смежные классы: .
Правое разложение не обязано совпадать с левым разложением.
В результате мы получаем два множества классов:
и – левое и правое фактор-множества множества по подмножеству . Длина этих множеств называется индексом подгруппы в группе .