Свойства функций непрерывных на отрезке Именно на отрезке проявляются преимущества свойства непрерывности функции

1. Глава
2. Свойства функций непрерывных на отрезке
Именно на отрезке проявляются преимущества свойства непрерывности функции.
3. 1. Ограниченность и достижение точных граней
Достиг я высшей власти
A.C. Пушкин. Борис Годунов
ОпрЕДЕЛЕние 6.1.1. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой его внутренней точке, а на концах имеет место односторонняя непрерывность. Ø
TEOPEMA 6.1.1. (первая теорема Вейеритрасса об ограниченности) Если функиия непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем.
ДокАЗАтЕ Льство. В противном случае существует последовательность значений функции , для которой Для каждого значения функции выберем его произвольный прообраз , т.е. , где Из теоремы 3.3.1 Больцано- Вейерштрасса следует, что существует сходящаяся подпоследовательность: при В силу двусторонней оценки и следствия , справедливо: (это существенный момент в доказательстве). Поскольку функция непрерывна в точке , то другой стороны: при . Т.е. . Противоречие.
ЗАМЕчАниЕ 6.1.1. Оба условия в теореме и непрерывность на являются существенными.
ПРимеРы 6.1.1. 1) Функция задана формулой на функция, заданная той же формулой на с доопределением .
4. Теорему 6.1.1 усиливает
TEOPEMA 6.1.2. (вторая теорема Вейеритрасса о достижснии точных граней) Если функиия непрерывна на отрезке , по сушествуюот почки , в которых . T.e., непрерывная на отрезке функиия достигает сбоих точных граней (см. рис. 6.1).
ЛокАЗАТЕЛБСтво осуществим для супремума. Согласно предыдущей теореме точная верхняя грань образа конечна, т.е. существует число Из определения супремума следует, что найдется такое число , что Как и в доказательстве теоремы , получаем ограни-

Рис. 6.1. ченную последовательность прообразов: , где Рассуждая как в доказательстве теоремы , из последовательности выделяем сходящуюся в подпоследовательность: при . Таким образом:

Переходя в двусторонней оценке к пределу, в силу непрерывности функции в точке , получаем
ЗАмЕЧАниЕ 6.1.2. Оба условия в теореме и непрерывность на ) являются существенными.
ПРИМЕРЫ 6.1.2. 1) Функция на не достигает ни нижней, ни верхней граней. 2) Функция задана на так: на и И эта функция не достигает ни нижней, ни верхней граней, но у нее разрывы в концах отрезка.