Свойства функций непрерывных на отрезке Именно на отрезке проявляются преимущества свойства непрерывности функции

6. 3. Теорема об обратной функции
Необходимо понять, кто от кого зависит:
Минотавр от Миноса, или Минос от Минотавра.
М.И. Цөетаева. Сводные тетради
Не всегда удается задать функцию явно. Поэтому важны "косвенные" способы задания: 1) обратная функция, 2) функция, заданная неявно, 3) функция, заданная параметрически.
ОПРЕДЕЛЕниЕ 6.3.1. Пусть функция является биекиией (взаимно-однозначным соответствием) между и . Обратное соответствие (тоже биекция!) между и называется обратной функцией, которую обозначают
Напомним, что функция называется инвективной, если разные числа из области определения отображаются в разные: Сужая область значений до образа функции, мы получаем биективную функцию

ПРимЕР 6.3.1. Показательная функция является инъективной как действующая в , но биективной как действующая в .
7. Очевидна
8. ЛЕМмА 6.3.1. (свойства обратной функиии)

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   
   

График "прямой" функщии служит одновременно графиком обратной, если в качестве оси аргументов обратной функции вЗять ось Оy. Если же мы хотим получить область определения обратной функции на оси , следует график функции отразить относительно биссектрисы первого-третьего координат-
.
Если ланная функшия не является биекшией, о
Рис.
область ее определения пытаются сузить так, чтобы добиться биективности.
ПримеРЫ 6.3.1. Биективны сужения: 1) на ; 2) на на . Заметим, что на суженной области определения данная функция является монотонной.
ТЕОРЕмА 6.3.1. (об обратной функиии на отрезке) Пусть функиия строго возрастает (убывает) на отрезке и непрерывна на нем. Тогда сушествует обратная функиия, определенная на отрезке , строго возрастаюоцая (убываюиая) и непрерывная на нем.
ДокАЗАТЕЛьСтво. Проведем доказательство для строго возрастающей функции. Во-первых, строго возрастающая функция является биежиией на свой образ (иначе нарушается условие строгого возрастания). Во-вторых, в силу непрерывности, из теоремы следует, что образом функции является отрезок , где . Опять же в силу строгого возрастания, Таким образом, - строго возрастающая биекция между отрезками и Очевидно, что обратная биекция также строго возpactaet.
Остается доказать непрерывность обратной функции. Пусть, от противного, - точка разрыва для . Тогда, в силу монотонности и теоремы , это точка разрыва первого рода:
и

Следовательно, единственная точка отображается функцией в невырожденный отрезок , что противоречит биективности этой функции.
Если же точка разрыва - конец отрезка (для определенности , то получаем, что только точка отображается в отрезок
Теорема обобщается для случая, когда область определения промежуток (конечный или бесконечный).
ТЕОРЕМА 6.3.2. (об обратной функиии на промежутке) Пусть бункиия строго возрастает (убывает) на промежутке с кониами а и b (конечными или бесконечными) и непрерывна на нем. Тогда сушествует обратная функиия, определенная на промежутке с кониами , строго возрастаюощая (убываюиая) и непрерывная на нем.
ДокАЗАТЕ Льство для случая конечного интервала. Пусть строго возрастает. Рассмотрим счетное объединение отрезков, которое исчерпывает весь интервал:

Сужение функции на указанные отрезки обозначим через На каждом отрезке, в силу теоремы , существует обратная функция Для любого существует номер , начиная с которого , где Причем для всех указанных номеров в окрестности точки функции , а в окрестности точки функции не меняются. Т.е. происходит стабилизация в окрестности любой точки В результате определяется обратная функция на образе .
3АдАчА 6.3.1. Докажите теорему 6.3.2 для случая неограниченного интервала (полуинтервала). 3AMEЧAниЕ 6.3.1. Не следует думать, что обратимы только монотонные функции. Однако равносильность обратимости и непрерывности на промежутке имеет место только для монотонных функиий. Проиллюстрируем это утверждение примером. Для положим

Очевидно, Поскольку суперпозиция на , то функция биективна и совпадает со своей обратной: Функция непрерывна в единственной точке и имеет разрывы второго рода во всех остальных точках. Заметим, что эта функция не является монотонной ни на каком подотрезке, принадлежашем .
ЗАДАчА 6.3.2. Обоснуйте свойства функции (6.1). Что собой представляет ее график?
ТЕРминология. Функция обладающая свойством называется инволютивной или инволюцией.
ЗАдАчА 6.3.3. Приведите примеры инволюций. Как расположен график инволютивной функции?