1. Двойной интеграл. Определение двойного интеграла

Кратные интегралы.
1.Двойной интеграл.

2. Определение двойного интеграла.
3.Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f(x, y).
Разобьём область D произвольным образом на n подобластей D₁, D₂, D₃, …, D_n, (не имеющих общих внутренних точек). Символом s(D_i) будем обозначать площадь области D_i; символом diam(D)здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области D:
;
символом d обозначим наибольший из диаметров областей D_i: .
В каждой из подобластей D_i (i = 1,2, …, n) выберем произвольную точку P_i = (x_i, y_i), вычислим в этой точке значение функции f(P_i ) = f (x_i, y_i), и составим интегральную сумму .
Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области D на подобласти D_i, ни от выбора точек P_i, то функция f(x, y) называется интегрируемой по области D, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается .
Если расписать значение f(P) через координаты точки P, и представить ds как ds = dx dy, получим другое обозначение двойного интеграла: . Итак, кратко, .