1. Двойной интеграл. Определение двойного интеграла

16.1.5.2. Двойной интеграл в полярных координатах. Нам придётся применять эту формулу, в основном, для перехода к полярным координатам. Роль переменных u и v будут играть r и . Как известно, . Вычислим якобиан: , следовательно, . Двойной интеграл в координатах r, вычисляется также как и в координатах x,y, переходом к двухкратному, при этом внешний обычно берут по . Если область D описывается как , то . Естественно, если - кусочные функции, то внешний интеграл разбивается на несколько слагаемых. Однозначно дать рецепт, когда имеет смысл переходить к полярным координатам, нельзя, это дело опыта. Можно пробовать перейти к r, , если либо f(x,y), либо кривые, ограничивающие область интегрирования, либо и то, и другое вместе, зависят от комбинации x ² + y ² = r ².
Если и/или область D ограничивается эллипсом , полезны обобщённые полярные координаты . Каков якобиан этого преобразования?
16.1.6. Задачи на двойной интеграл.
16.1.6.1. Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам. Смысл этих задач - научиться быстро определять параметры (в декартовых координатах) и (в полярных координатах), необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному. Примеры:

1. Пусть область . Представить двойной интеграл по области D в виде повторных. Перейти к полярным координатам.
Решение. Область изображена на рисунке справа. Для левой части D ; для правой - (уравнение правой полуокружности после выделения полных квадратов принимает вид ), поэтому
.
D можно также oписать неравенствами , поэтому . В полярных координатах уравнение левой четверти окружности имеет вид для (можно взять и отрезок ), правой полуокружности для (можно взять и отрезок ), поэтому .

2. 
   
   . Изменить порядок интегрирования, перейти к полярным координатам.
   

Решение. Область D - объединение трёх подобластей: . На рисунке изображена область и приведены уравнения прямых и обратных функций для линий, ограничивающих её. D можно представить в виде , поэтому . В полярных координатах D представляется как объединение двух треугольников OCB и OBA. Уравнение прямой ОС: (можно получить и формально, перейдя к полярным координатам в её уравнении: ), прямой ОВ: , прямой СВ: , прямой ОА: , прямой АВ: . В результате .