1. Двойной интеграл. Определение двойного интеграла

x² + y² = 2ax из сферы x² + y² + z² = 4a² .
Решение. На рисунке изображён верхний из этих лепестков. Уравнение поверхности вычисляем производные и . Область D - сдвинутый на а единиц по оси Ох круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей Оху и Охz: .

16.1.7.4. Механические приложения двойного интеграла должны решит. Будем считать, что D - неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной . В механике определяется так. Точка Р окружается малой областью S, находится масса m(S) и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать буквой S), и . Для нахождения массы по заданной плотности мы ь обратную задачу. Разобьём D на малые подобласти D₁, D₂, D₃, …, D_n, в каждой из подобластей D_i выберем произвольную точку P_i, и, считая что в пределах D_i плотность постоянна и равна , получим, что масса D_i приближённо есть , а масса всей пластины . Это - интегральная сумма, при уменьшении точность приближения увеличивается, и в пределе .
Аналогично находятся другие параметры пластины:
координаты центра тяжести , ;
моменты инерции (относительно оси Ox), (относительно оси Oy), (относительно начала координат).

Пример: найти параметры неоднородной плоской пластины, ограниченной кривыми если плотность .
Решение.


(что и следовало ожидать, так как область и плотность симметричны относительно оси Оу).


.

. .