Ptolomey teoremasini analitik isbotlash

Ptolomey teoremasini analitik isbotlash
Ismatov Normurod^1
1: Jizzax davlat pedagogika instituti
Matematika fanida, xususan, geometriya fanida biror masala yoki teoremani turli usullarda yechish yoki isbotlash muammolari juda muhim ahamiyatga ega.
Jumladan, elementar geometriyaning ayrim muhim teoremalarini isbotlashda turli
metodlarni qo‘llash va ularni amaliy tatbiqlari bayon qilish dolzarb masalalardan biridir. Shularni hisobga olib planimetriyaning ayrim, muhim teoremalarini tanlab olish ularning turli isbotlariga ahamiyat beramiz. Tanlangan teoremalarning elementar - sintetik usuldagi isbotlari bu sohadagi adabiyotlarda keng yoritilgan. Lekin, ularning analitik - koordinatalar usulidagi isbotlari ilmiy - uslubiy adabiyotlarda kam yaratilgan bo‘lib, bu geometriyani o‘rganishda muhim ahamiyatga ega.
Quyida keltirilgan Ptolomey teoremasining elementar - sintetik usuldagi isbotlari o‘quv qo‘llanmalarda ko‘plab uchraydi. Lekin geometrik vektorlar yordamidagi isboti deyarli uchramaydi.
Teorema (Ptolomey). Doiraga ichki chizilgan to‘rtburchakning diagonallarining ko‘paytmasi to‘rtburchak qarama - qarshi tomonlari ko‘paytmalari yig‘indiiga teng.
Isbot. Markazi O koordinatalar boshida yotuvchi birlik alana olib unga ixtiyoriy ABCD ichki to‘rtburchak chizamiz. (1-chizma). OA, OB, OC, OD vektorlari birlik vektorlardir. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz.
p = (OA,^A OB), p = (OB: OC), p = (OC: OD)
p₄ = (OD: OA). p + p₂ + p₃ + p₄ = 2n.


Quyidagilarni yozishimiz mumkin:
AB = OB - OA, AB² = OB² + OA² - 2 • OA • OB =
= 2 - 2|OB • |OA| • cos^ = 2 - 2cos^;
BC = OC - OB; BC² = 2 - 2cos^;
CD = OD-OC; CD² = 2-2cos% ;


(1)
DA = OA - OD; DA = 2 - 2cos^₄.
AB • CD + BC • AD = BD • AC
tenglikni isbotlash talab etiladi.
AB • CD = ^2 - 2cos^ •^J2 - 2cos^₃ = 2^J(1 - cos^)(1 - cos^₃) 1 - cosa = 2 sin² y formulaga asosan
AB • CD = 2j2sin² — • 2sin² — = 4sin— • sin—
2 2 2 2
BC • AD = yj2 - 2cos^₂ 2 - 2cos^₄ = 4sin^^ • sin^⁴.
sin+^ sin /3 = 1(cos(a-/) - cos(a + /))
ayniyatdan foydalanib
AB • CD = 2cos-^^-^³ - cos^±>1 BC • AD = 2cos^² ~^⁴ - cos^² +^⁴


" , "2 _"■ I "1 +% i "2 + "4
cos——— + cos——— -I cos——— + cos-
tengliklarni olish qiyin emas. Oxirgi tengliklarni hadma - had qo‘shib, quyidagilarni hosil qilamiz:
AB • CD + BC • AD = 2
Oxirgi tenglikka
„ „ a -B a-B
cosa + cosB = 2cos cos
22
formulani qo‘llaymiz. Natijada quyidagilarni yozishimiz mumkin:
,cc," " + c..-s" "■ = 2cos"'+"2 ^- ("3 + "■). cos" + "■ ^- (" + "3) =




= 2cos²^^{- 2}" +"') • c.+" ²" +"3) = 2coi—-"2 + "3

44

22

2sin"3^sin"2 + "

BD • AC = 2^/(1 - cos(" + "))(1 - cos(" + ")) = 4sin" +"⁴ sin " Ikkinchi tomondan

sin

"1 + "■

= sin²^⁽"3 + "²) 2

= sin

"2 +"3

sin

"1 +"2

= sin

"3 +"■


22
" + " + " + " = 2n ekanligini hisobga olsak
. o + ' " = 2 • cos± • coJ " - " ■ ] = 0
2 2 2 \ 2 2
ekanligini ko‘rish qiyin emas. Shunday qilib,
AB • CD + BC • AD = 4sin "³ +"⁴ sin"² + "³ (2)
22
Endi BD • AC ko‘paytmaning qiymatini hisoblaymiz.
BD = OD -OB, BD² = OD² + OB² -2OD • OB = 2-2cos(" + ")
AC = OC - OA, AC² = 2 - 2cos(" + ")

Demak,
BD • AC = 4sin "² +"³ • sin"³ +"⁴ 22
(2) va (3) tengliklardan (1) tenglikni hosil qilamiz.
Teorema to‘liq isbotlandi.
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati:

1. 
   Dadajonov N.D., Jo‘rayeva M.SH. Geometriya. I qism. Toshkent, “O‘qituvchi”,
   

1996-224b.

2. 
   ryceB B.A., KonaruH M.M., HykaHKUH r.Hw BekTopBi b rnkonBHOM kypce MaTeMaTUku. // nocoSue gna yHUTeneh.-M: I IpocBemenne, 1976. - 47c
   
3. 
   Nazarov N.N., Ochilova X.O., Podgoznova YE.G. Geometriyadan masalalar
   

to‘plami. I qism. Toshkent, “O‘qituvchi”, 1997-87b.

4. 
   noropeneB A.B. reoMeTpua: yneSHUk gna 7-11 KnaccoB cpegHeh mkonBi.- M.:
   

npocBe^eHue, 1992. - 383c.
Elektron ta'lim manbalari

1. 
   www.ziyonet.uz
   
2. 
   www.exponenta.ru
   
3. 
   www.matlab.ru