O‘xshashlik. Uchburchakning o‘rta chizig‘i haqidagi teorema

6-mavzu: O‘xshashlik. Cheva va Menelay teoremasi, sinus va kosinuslar qonunlari

Reja

1. 
   O‘xshashlik.
   
2. 
   Uchburchakning o‘rta chizig‘i haqidagi teorema.
   
3. 
   Cheva teoremasi.
   
4. 
   Menelay teoremasi.
   

Tayanch iboralar:o‘rta chizig‘i, Cheva teorema, Lemma, Menelay teoremasi, miqdоr, fazоviy tasavvur, kооrdinata,uchburchak, katеt, gipоtеnuza,Pifagor teorema, o‘xshashlik.

9.24-rasm 9.25-rasm 9.26-rasm

Natijalarning ko‘pi – agar aksariyati bo‘lmasa – o‘xshash uchburchaklarning tomonlari proporsionalligiga tayanishini ko‘rishimiz mumkin. Ushbu tasdiq quyidagicha.

O‘xshashlik. Berilgan uchburchak-larning o‘xshashligidan ∆ABC ∆А'BC' quyidagi tenglikga ega bo‘lamiz:

.

Va aksincha, agar

bo‘lsa,

berilgan uchburchaklar o‘xshash bo‘ladi:

.

Isbot. Birinchidan va ∆ uchburchaklar bir xil yuzaga ega, bundan esa va uchburchaklar ham bir xil yuzaga ega (chunki oldingi uchburchaklar yuziga umumiy bo‘lgan ∆АB uchburchakyuzi qo‘shildi).

Shunga o‘xshash tenglikni isbotlash mumkin.

Va aksincha,

tenglik o‘rinli deb faraz qilaylik.

O‘ng tomondagi rasmda nuqtasi shunday joylashgan bo‘lsinki, kesma kesmaga parallel bo‘lsin. Unda va uchburchaklar o‘xshash bo‘lib,

bo‘ladi,

ya’ni . Bundan tenglik aniq ko‘rinib turibdi va kesma kesmaga parallelligi kelib chiqadi. Bundan esa ∆ABC ∆А'BC' uchburchaklarning o‘xshashligi kelib chiqadi.

Topshiriqlar


9.29-rasm

9.28-rasm

9.27-rasm
1.

Berilgan va uchburchaklarning va bo‘lsa,∆ABC ∆А'BC' uchburchaklarning o‘xshashligini isbotlang.

2. O‘ng tomondagi figurada



tenglikni isbotlang.
3.Berilgan uchburchakda Y va Z nuqtalari mos ravishda [AC] va [AB] kesmalarining o‘rtalari bo‘lsin. (YZ) to‘g‘ri chiziq (BC) to‘g‘ri chiziqqa parallelligini ko‘rsating. (Bu oddiy natija ba’zan uchburchakning o‘rta chizig‘i haqidagi teorema deyiladi).

4. uchburchakda

bo‘lsin, bu yerda x musbat haqiqiy son.

uchburchakning yuzi 1 ga teng deb olinsa, uchburchakning yuzini x o‘zgaruvchili funksiya sifatida hisoblang.

5. Berilgan to‘rtburchak tomonlarining o‘rtalari mos ravishda tutashtirilib to‘rtburchak hosil qilingan. to‘rtburchak parallelogrammligini isbotlang.

6. O‘ng tomondagi figurada parallelogramm va E nuqta [AD] kesmaning nuqtasi bo‘lsin. F nuqta (BE) va (CD) to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtasi.

tenglikni isbotlang.

6. O‘ng tomondagi figurada aylanaga B va C nuqtalarida o‘tkazilgan urinmalar A nuqtada kesishadi. Aylananing kichik yoyi da joylashgan P nuqtadan o‘tuvchi urinma (AB) va (AC) to‘g‘ri chiziqlarni mos ravishda D va E nuqtalarda kesib o‘tadi. O nuqta berilgan aylananing markazi bo‘lsa, tenglikni isbotlang.

Mazkur faslda kesma miqdorini "yo‘naltirilgan" miqdor sifatida ko‘rish qulaydir, ya’ni AB kesma miqdorini uzunligi absolyut qiymati oddiy [АВ] kesma uzunligiga teng bo‘lgan va AB kesmaning musbat va manfiy qiymqtlariga ega bo‘lgan "yo‘naltirilgan" miqdor hisoblanadi. Bu miqdorlar uchun bitta talab bajarilishi kerak: agar А, B va С nuqtalar kollinear bo‘lsa, unda quyidagi tenglik bajariladi

9.30-rasm

9.31-rasm
Bundan "yo‘naltirilgan" miqdor uchun quyidagi tenglik bajariladi:

Davom ettirishdan oldin, kitobxon “balandliklarni tushirish” ko‘p hollarda yordamchi shakl sifatida foydalanishiga e’tibor berishi kerak.

Ushbu faslning ikkita teoremasi quyidagi holat bilan bo‘g‘liq:

ABC uchburchak hamda Х, Y, Z nuqtalari mos ravishda (BC), (АС) va (АВ) to‘g‘ri chiziqlarda berilgan.

Cheva teoremasi (AX), (BY) va (CZ) to‘g‘ri chiziqlarning bir nuqtada kesishishi bilan bog‘liq. Menelay teoremasi X, Y va Z nuqtalarining kollinearligi bilan bog‘liq. Shuning uchun ushbu ikkita teorema o‘zaro bog‘liq holda ko‘rilishi mumkin.

Har bir holdagi ko‘rinishlar soni quyidagi nisbatlar ko‘paytmasidan kelib chiqadi:

E’tiborbering, yuqoridagiharbirnisbatningnomanfiyligiaynanX, YvaZnuqtalarimosravishda [BC], [AC] va [AB] kesmalardayotgandabo‘ladi.

Cheva teoremasining isbotida quyidagi lemma ahamiyatlidir.

9.32-rasm
Lemma. Berilgan ABC uchburchakda X nuqta esa A uchidan chiqqan to‘g‘ri chiziqning (BC) to‘g‘ri chiziq bilan kesishgan nuqtasi bo‘lsin. Р nuqtasi esa (AX) to‘g‘ri chiziqdagi biror nuqta bo‘lsin. Shunda .

Isbot.O‘ng tomondagi rasmda BR va CS balandliklar tushirilgan. Bundan ko‘rinadiki

Oxirgi tenglik BRX CSX uchburchaklarning o‘xshashligidan kelib chiqadi.

Shuni hisobga olish kerakki, yuqoridagi isbot (АВ) va (BC) to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtasi joylashuviga va P nuqtasining (BC) chiziqqa nisbatan joylashuviga bog‘liq emas (P nuqta ikkala tomonda ham joylashish mumkin).