O‘xshashlik. Uchburchakning o‘rta chizig‘i haqidagi teorema

Menelay teoremasi. uchburchakda berilgan nuqtalar mos ravishda va chiziqlarda joylashgan bo‘lsin. nuqtalar kollinearligi uchun quyidagi tenlikning bajarilishi zarur va yetarli



Isbot. Yuqorida aytilganiday, ikki holatni ko‘rib chiqish mumkin. Birinchi holatda X, Y, Z nuqtalari uchburchak tomonlarida joylashgan, ikkinchi holatda X, Y, Z nuqtalaridan birortasi ham uchburchak tomonlarida joylashmagan. Ikkala holat uchun ham isbotlar formal o‘xshash bo‘lsada, yaqqol ko‘rinishi uchun ularni alohida ko‘rib chiqamiz.

9.37-rasm
1-holat. Dastlab, X, Y va Z nuqtalarning kollinearligi hamda h₁, h₂, h₃ balandliklarni o‘ng tomondagi rasmdagiday tushirilganligini tasavvur qilamiz. O‘xshashuchburchaklardanquyidagilarnihosilqilamiz

bu holda quyidagi tenglik kelib chiqadi

Teskarisini isbotlash uchun, X nuqta [BC] kesmada, Z nuqta [AB] kesmada va Y nuqta (AC) to‘g‘ri chiziqda yotishini hamda

tenglik bajarilishini tasavvur qilamiz. nuqta va larning kesishish nuqtasi bo‘lsa, yuqorida aytilganlardan ushbu tenglikni keltirib chiqarish mumkin

9.38-rasm
Bundan esa kelib chiqadi va nuqtalarning tengligi hamda nuqtalarning kollinearligi kelib chiqadi.