Основные понятия и теоремы. Линейные операторы

ВВЕДЕНИЕ

Курс «Алгебра и геометрия» занимает особое место в системе математических дисциплин, которые изучаются студентами специальностей ПМ, САУ и ИНФ, как базовый курс. Изучение курса необходимо для освоения основных понятий и методов аналитической геометрии и линейной алгебры для решения конкретных задач, а также обеспечения других математических дисциплин.

Целью курсовой работы является углубление теоретических знаний по курсу «Алгебра и геометрия», развитие навыков самостоятельной работы; практическое применение алгебры и геометрии при решении прикладных задач.
Данная работа содержит решение задачи приведения к каноническому виду общих уравнений кривых и поверхностей второго порядка.
Работа состоит из двух частей - теоретической и практической. В теоретической части приведены определения таких понятий, как линейный оператор собственный вектор и собственное значение матрицы, характеристическое уравнение, квадратичная форма. Изложена теория приведения общего решения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду. Приведены ответы на теоретические вопросы.
В практической части построены график кривой в в каноническом виде и график поверхности в каноническом виде.
1. Основные понятия и теоремы


.1 Линейные операторы

В векторном пространстве задан оператор, или преобразование, А, если каждому вектору поставлен в соответствие определенный вектор или, .

Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых двух векторов х и у из и. произвольного числа выполняется:

.

.

Вектор называется образом вектора , а вектор х - прообразом вектора при преобразовании .

Выберем в пространстве базис Тогда если , то в силу линейности оператора имеем


, .

Но так как (где ) - это тоже вектора из , то можно разложить по базису .

Пусть


,
Тогда

Если координаты вектора в том же базисе ех, е2,...,еп, т.е. если

,

то, ввиду единственности разложения вектора по базису, имеем

,

……………………………

Каждому линейному оператору в данном базисе отвечает матрица

,


-й столбец которой образован коэффициентами разложения вектора по базису ; при этом коэффициенты разложений (1) координат вектора по координатам вектора образуют строки матрицы А.
Если в векторном пространстве задан базис, то каждому линейному оператору отвечает определенная квадратная матрица порядка и. обратно, каждой такой матрице отвечает определенный такой оператор. Поэтому линейный оператор и соответствующую ему (в данном базисе) матрицу мы будем обозначать одной и той же буквой: , , - линейные операторы. А, В, С - соответствующие им матрицы. Матрица А называется матрицей линейного оператора .
Легко видеть, что для всякого линейного оператора
.
При этом, если только при х=0, то оператор называется невырожденным; если же найдется такой вектор , что , то оператор - вырожденный. Следовательно, для того, чтобы оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А этого оператора (в любом базисе) был отличен от нуля. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной матрицей.