Определение и примеры алгебры морфизмов фактор-алгебры план

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ АЛГЕБРЫ МОРФИЗМОВ ФАКТОР-АЛГЕБРЫ

ПЛАН

1. 
   Определение и пример кольца и алгебры.
   
2. 
   Определение множества (ограниченного) на числовой прямой, измеримого по Лебегу
   
3. 
   Конструкция множества Кантора, его свойства.
   

Определение и пример кольца и алгебры. Определение и примеры мер на кольце.

Определение. Пусть задано некоторое непустое множество Х. Непустое семейство  называется кольцом, если оно обладает тем свойством, что из А K и В K следует А В K, АВ K.
Определение. Кольцо K называется алгеброй, если Х K. Х в этом случае называется единицей кольца. Примеры:

1. 
   Для любого множества X система P(X) всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств.
   
2. 
   На числовой прямой R система его конечных и счетных подмножеств представляет собой кольцо, но не алгебру.
   

Определение. Пусть на некотором множестве Х задано полукольцо S Р(Х). Будем говорить, что на S задана мера, если каждому элементу А S поставлено в соответствие вещественное число m(A) R таким образом, что выполнены следующие условия:
1)   A S : m(A)   0;
2) если  , A, A_i S, то  .