Mavzu : Funksiyaning



Download 3.89 Mb.
bet5/5
Sana29.08.2021
Hajmi3.89 Mb.
1   2   3   4   5

14-misol.


lim ç1 + 1 ÷

= lim ç1 + 1 ÷ ç1 + 1 ÷

= limç1 + 1 ÷

limç1 + 1 ÷

= e(1 + 0)

= e .


æ ö

n®¥ è n ø

æ

n®¥ è

ö æ ö

n ø è n ø

æ

n®¥è



ö æ ö 8

n ø n®¥è n ø

15-misol.


lim æ1 + 3 ö


ç

x

÷
x®¥ è x ø

topilsin.



Yechish. х=3t desak,

x ® ¥

da t ® ¥ va




ç1

x

÷
lim æ + 3 ö

x®¥ è x ø


1
3t


÷

ç1
= lim æ + ö

t®¥ è t ø

÷

t

ç1
= lim æ + 1ö

t®¥ è t ø

t
æ 1ö

ç1+ ÷

è t ø



t
æ 1ö

ç1+ ÷ =

è t ø




t t t

= lim ç1 + 1÷ lim ç1 + 1÷ lim ç1 + 1÷

= e × e × e = e3



bo’ladi.

æ

t ®¥ è

ö æ




t ø t ®¥ è

ö æ ö


 

t ø t ®¥ è t ø


æ x + 4 ö

x+2

æ x +1+ 3 ö



x+1+1

æ 3 ö

( x+1)+1

16-misol.


lim ç

÷ = lim ç

÷ = lim ç1+ ÷ =


x®¥ è x +1 ø

x®¥ è

x +1 ø

x®¥ è

x +1ø


y +1

æ ö


y 1

æ ö æ ö


3

= lim çç1 + ÷÷

3

= lim çç1 + ÷÷

3

× lim çç1 + ÷÷

= e3 ×1 = e3.



y ®¥ è y ø

y ®¥ è

y ø y ®¥ è y ø

Ikkinchi ajoyib limit

1¥ ko’rinishdagi aniqmaslik ekanini ta‘kidlab o’tamiz.

Cheksiz kichik funksiyalarni taqqoslash


a = a (x) va

b = b (x)

funksiya

x ® a

(yoki

x ® ¥ ) da cheksiz kichik funksiyalar bo’lsin.


Bu funksiyalarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi ham cheksiz kichik funksiya bo’lishini ko’rdik. Ularning nisbati, ya‘ni bo’linmasi haqida gapirilmagan edi. Ikkita cheksiz kichik funksiyalarni ularning nisbatlarini limitiga qarab taqqoslanadi.

1-ta„rif. Agar

lim a = 0

b

(yoki

lim b

a


= ¥ ) bo’lsa, a funksiya b funksiyaga nisbatan

yuqori tartibli cheksiz kichik funksiya deyiladi.

Masalan

x ® 0

da a = sin 2 x funksiya



b = x funksiyaga nisbatan yuqori tartibli cheksiz

kichik funksiya, chunki



2
lim sin2 x = 0 , lim x = 0 va

lim sin

x = lim sin x lim sin x = 1× 0 = 0.

x®0

x®0

x®0 x

x®0

x x®0


2-ta„rif. Agar
funksiyalar deyiladi.

lim a

b

= A ¹ 0


bo’lsa, a va b funksiyalar bir xil tartibli cheksiz kichik

Masalan

x ® 0

da a = sin 3x

va b = x

funksiyalar bir xil tartibli cheksiz kichik




funksiyalardir, chunki

lim sin 3x = 0 , lim x = 0 va

lim sin 3x = 3 ¹ 0.

x®0

x®0

x®0 x


3-ta„rif. Agar

lim a

b

= 1 bo’lsa, a va b cheksiz kichik funksiyalar ekvivalent deb ataladi



va a ~ b yoki a » b

kabi yoziladi.


Masalan, x ® 0 da sinx~x, chunki lim sin x = 1 va

x ® 0 da tgx~x, chunki lim tg x = 1.

x®0 x

x®0 x

Amaliyotda qo’yidagi teoremadan ko’p foydalaniladi.

a a1

Teorema. Agar a ~a1 , b ~ b1 bo’lsa,

lim

b


= lim

b1

tenglik to’g’ridir.


Haqiqatan

lim a

= lim a a1 b1 = lim a lim a1 lim b1 = 1× lim a1 ×1 = lim a1 .



b a1 b1 b

a1 b1 b

b1 b1

  1. misol. lim sin 5x = lim 5x = 5.

x®0 x

x®0 x




  1. misol. lim

tg 5x

= lim 5x = 5 .



x®0 sin 7x

x®0 7x 7
  1. Funksiyaning uzluksizligi

Argument va funksiyaning orttirmalari


y = f (x)

funksiya (a; b)

intervalda aniqlangan bo’lsin. Bu intervaldan ixtiyoriy

x0 nuqtani


olamiz, unga funksiyaning

y0 =

f (x0 ) qiymati mos keladi (90-chizma).

(a; b)

intervaldan olingan argumentning boshqa х qiymatiga funksiyaning

y = f (x)

qiymati mos


keladi.

x - x0

ayirma х argumentning x0

nuqtadagi orttirmasi deyiladi va Dx

orqali belgilanadi.


f (x) - f (x0 ) ayirma

f (x)

funksiyaning argument orttirmasi

Dx ga mos orttirmasi deyiladi va Dy


orqali belgilanadi. Shunday qilib,

Dx = x - x0 ,

Dy = f (x) - f (x0 ) . Bundan

x = x0 + Dx ,

Dy = f (x0 + Dx) - f (x0 ) . 90-chizmada (a; b) intervalning hech bir nuqtasida grafigi uzilmaydigan

funksiya tasvirlangan. Undan ko’rinib turibdiki argumentning kichik Dx

orttirmasiga funksiyaning

ham kichik Dy

orttirmasi mos keladi. Boshqacha aytganda argument х ning bir-biriga yaqin


qiymatlariga funksiyaning ham bir-biriga yaqin qiymatlari mos keladi. Bu qoida har qanday


funksiya uchun ham to’g’ri kelavermaydi. Masalan,

y = 1

x
funksiyani qaraylik. х ning bir-biriga


6
ancha yaqin

x = -10-6 va

x = 106

qiymatlariga funksiyani bir-biridan katta farq qiladigan



1

2

6
y1 = -10

va y2 = 10



qiymatlari mos keladi. Boshqacha aytganda argumentning juda kichik









-6
Dx = x2 - x1 = 2 ×10

orttirmasiga

funksiyaning ancha katta

Dy = y2

  • y1

= 2 ×106


orttirmasi mos keladi. Agar biz

y = 1

x
funksiyani

grafigini (91-chizma) kuzatsak grafikning uzilishga ega (u ikki bo’lakdan iborat) ekanligini va uzilish х ning х=0 qiymatida sodir



bo’lishini ko’ramiz. Shuning uchun ham argumentning



90-chizma.

x0 =0 nuqtaga yaqin nuqtalardagi kichik

orttirmasiga funksiyaning kichik orttirmasi mos kelmaydi. Bu kabi hollar barcha funksiyalar sinfini ikkiga, ya‘ni grafigi uzilmaydigan va grafigi bir nechta qismlardan iborat funksiyalar sinfiga bo’lib o’rganishni taqozo etadi.

Funksiyaning nuqtada va intervalda uzluksizligi


y = f (x) funksiya

x0 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan bo’lsin.

1-ta„rif.


lim

x® x0

f (x) =

f (x0 ) , (18.1)

ya‘ni funksiyaning

x0 nuqtadagi limiti uning shu

nuqtadagi qiymatiga teng bo’lsa,

y = f (x)

funksiya


x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.

Bu ta‘rifga teng kuchli yana bir ta‘rifni

keltiramiz.





2-ta„rif. Istalgan

e > 0
son uchun shunday d = d (e ) > 0

91-chizma.








son mavjud bo’lsaki,
x - x0 < d


shartni qanoatlantiradigan istalgan х uchun

f (x) - f (x0 ) < e

tengsizlik bajarilsa,

y = f (x)


funksiya

x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.

3-ta„rif.


lim Dy = 0

Dx®0

(18.2)









bo’lsa,

y = f (x) funksiya

x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.

90-chizmada tasvirlangan

y = f (x)


funksiya x0

bajariladi.

nuqtada uzluksiz, chunki (18.2) shart



92-chizmada tasvirlangan

y = f (x)

funksiya


x0 nuqtada uzluksiz emas, chunki

lim Dy ¹ 0 .

Dx®0



1-misol.



y = x2

funksiyani ixtiyoriy

92-chizma.


0
x0 nuqtada uzluksizligini ko’rsating. Yechish. Bu


funksiya butun sonlar o’qida aniqlangan. Dy

ni tuzamiz:



f (x) = x2 ;

f (x0

) = x 2 ;






Dy =

f (x0 + Dx) = (x0 + Dx) ;


2
2 2 2 2 2 2

f (x0 + Dx) - f (x0 ) = (x0 + Dx)

    • x0

= x0 + 2x0 Dx + Dx

    • x0

= 2x0 Dx + Dx .

Demak,

lim Dy = lim (2x Dx + Dx2 ) = 0 va

y = x2

funksiyani ixtiyoriy x

Dx®0
nuqtada uzluksiz.

Shunday qilib,

Dx®0 0 0

y = x2 funksiya aniqlanish sohasining har bir nuqtasida uzluksiz ekan.


2-misol.


y = sin x funksiyani ixtiyoriy x0

nuqtada uzluksizligini ko’rsating.


Yechish.


f (x) = sin x

Dy =

f (x

  • Dx) - f (x ) = sin(x

  • Dx) - sin x

= 2sin x0 + Dx - x0 cos x0 + Dx + x0 =

0 0 0 0 2 2

Dx æ Dx ö

= 2sin

cosç x0 + ÷, 2 è 2 ø

Dx
æ Dx ö
Dx æ Dx ö

lim Dy = lim 2sin

cosç x0 +

÷ = 2 lim sin



lim cosç x0 +

÷ = 0 ,



Dx®0

Dx®0

2 è 2 ø



Dx®0

2 Dx®0 è 2 ø


chunki

lim sin Dx = 0 .

Dx®0 2

Har bir elementar funksiya uchun shu tariqa mulohaza yuritib quyidagi teoremaning to’g’riligiga iqror bo’lamiz.

18.1-teorema. Asosiy elementar funksiyalar o’zlari aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksizdir.

Bir tomonlama limit tushunchasidan foydalanib uzluksizlikni quyidagicha ta‘riflash mumkin.

  1. ta„rif. Funksiyaning x0

nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari mavjud va o’zaro teng


bo’lsa,

y = f (x) funksiya

x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.


Shunday qilib

f (x)

funksiya x0

nuqtada uzluksiz bo’lishi uchun u shu nuqtada aniqlangan




va f (x0 - 0) =

f (x0 + 0) =

f (x0 ) shart bajarilishi lozim ekan.


Yana 1-ta‘rifga qaytib uni

lim

x®x0

f (x) =

f ( lim x)

x®x0

ko’rinishda yozamiz. Bundan ko’rinib


turibdiki

x0 nuqtada funksiya uzluksiz bo’lsa funksiyaning shu nuqtadagi limitini topishda limit

ishorasini funksiya belgidan ichkariga kiritish mumkin ekan.

1 é 1 ù

3-misol.


lim ln(1 + x) = lim 1 ln(1 + x) = lim ln(1 + x) x

= lnêlim(1 + x) x ú = lne = 1.



x®0 x

x®0 x

x®0

êëx®0 úû

Bu yerda

ln х funksiyani х=е nuqtada uzluksizligidan foydalanib limitni funksiya



ishorasi ln

ning ichkarisiga kiritdik.



5-ta„rif. (a; b)

uzluksiz deb ataladi.

intervalning barcha nuqtalarida uzluksiz

f (x)

funksiya shu intervalda

Agar funksiya

x0 nuqtada aniqlangan bo’lib

lim

x® x0 +0

f (x) =

f (x0 )

bo’lsa


y = f (x)

funksiya


х= x0 nuqtada o‟ngdan uzluksiz deyiladi.


Agar funksiya х= x0

nuqtada aniqlangan bo’lib



lim

x® x0 -0

f (x) =

f (x0 )

bo’lsa


y = f (x)


funksiya х= x0 nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi.

6-ta„rif.


y = f (x)

funksiya (a; b)

intervalda uzluksiz bo’lib х=а nuqtada o’ngdan va х=b

nuqtada chapdan uzluksiz bo’lsa, u [a; b] kesmada uzluksiz deb ataladi.

5-va 6-ta’riflarga hamda 18.1 teoremaga asoslanib

y = ax ,

y = sin x ,

y = cos x

funksiyalar

butun sonlar o’qida,



y = loga x funksiya (0; + ¥) intervalda,

y = funksiya [0; + ¥) intervalda,


y = 1

x

funksiya (- ¥;0)È (0; + ¥) intervalda uzluksiz ekanligini ta‘kidlab o’tamiz.
Shuningdek ko’phad butun sonlar o’qida, kasr-ratsional funksiya x ning kasr maxrajini

nolga aylantirmaydigan barcha qiymatlarida uzluksiz ekanini eslatib o’tamiz.

Teorema. Agar f(x) va g(x) funktsiyalar

x0 nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda ularning

f (x)

algebraik yig’indisi, ko’paytmasi va
uzluksiz bo’ladi.

g(x0 ) ¹ 0

bo’lganda


g(x)

bo’linmasi ham shu

x0 nuqtada

Bu teoremaning isboti funksiya limitining xossalariga asoslangan.

Endi murakkab funksiyaning uzluksizligiga oid teorema bilan tanishamiz.



Nuqtada uzluksiz funksiya xossalarini ifodalovchi teorema bilan tanishamiz.

Teorema. Agar

u = j(x)

funksiya

x0 nuqtada uzluksiz,

y = f (u)

funksiya

u0 = j(x0 )

nuqtada uzluksiz funksiya bo’lsa, u holda uzluksiz bo’ladi.

y = f [j(x)]

murakkab funksiya ham

x0 nuqtada

Isboti.


lim

x® x0

f [j(x)] =

f [j(x0 )]

ekanligini ko’rsatamiz.

u = j(x)

funksiyaning x0

nuqtada


uzluksizligidan

lim j(x) = j(x0 ) = u0

x® x0

ga ega bo’lamiz, ya‘ni

x ® x0

да u ® u0 .



f (u)

funksiyaning shu nuqtada uzluksizligini hisobga olsak

lim

x®x0

f [j(x)] = lim

u ®u0

f (u) =

f (u0 ) =

f [j(x0 )].

Shunday qilib ikkita uzluksiz

f (u)

va j(x)



funksiyalardan tashkil topgan

y = f [j(x)]

funksiya ham uzluksiz bo’lar ekan. Masalan,

y = ln(4 - x2 ) murakkab funksiya х ning

4 - x2 > 0



tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida, ya‘ni (- 2; 2)

intervalda uzluksiz.

Asosiy elementlar va murakkab funksiyani uzluksizligi haqidagi teoremalarga tayanib elementar funksiyaning uzluksizligi haqidagi qo’yidagi teoremaga ega bo’lamiz.

Teorema. Barcha elementar funksiyalar o’zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdirlar.

4-misol.


lim

p

4sin x topilsin.

x®

2


Yechish. 4s




xi nmurakkab funksiya
x = p

2

nuqtada uzluksiz bo’lgani uchun




lim

p
4sin x = 4
p

sin

2
= 41 = 4


bo’ladi.

x®

2





  1. misol. lim

x®0

a -1 topilsin.


x
x


Yechish. Bu yerda

0 ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz.

0
ax -1 = t
almashtirish olamiz. U

holda ax = 1 + t ,

x = loga

(1 + t)

bo’lib


x ® 0 da t ® 0 va



lim

a -1 = lim t

= lim 1 = 1

1

= = log a = lna

bo’ladi.



x
x loga (1 + t ) log

(1 + t )

lim log

(1 + t )t

logae

x®0

t ®0

t ®0 1

t a

1 e



t ®0 a

Xususiy holda lim

x®0

e -1 = lne = 1


x
x

kelib chiqadi, ya‘ni

x ® 0 da ex -1 ~ х .

6-misol.


lim

x®0

(1 + x)p -1

x

topilsin.



Yechish. Bu yerda

0 ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. (1 + x)p -1 = y

0

almashtirish

olamiz. U holda (1 + x)p = 1 + y , yoki buni e asosga ko’ra logarifmlasak

pln(1+ x) = ln(1+ y)

bo’ladi.

x ® 0 da

y ® 0 . Demak,

lim

(1 + x)p -1

x

= lim



y = lim

x

pln(1 + x) ×

x

y

n(1 + y) = p lim

ln(1 + x)

x

lim

y

n(1 + y) = p ×1×1 = p.

x®0

x®0

x®0 l

(1 + x)p -1

x®0

y ®0 l

Shunday qilib,

lim

x®0

=р formulaga ega bo’ldik.

x

Uzluksizlik tushunchasidan foydalanilsa limitni hisoblash ancha osonlashadi, ya‘ni uzluksiz funksiyaning biror nuqtadagi limitini hisoblash uning shu nuqtadagi qiymatini hisoblashga keltiriladi.

Endi asosiy elementar funksiyalarning aniqlanish sohalarining chetlaridagi limitlari hamda ajoyib limitlar jadvalini keltiramiz.



  1. x = a nuqtada uzluksiz

y = f (x) funksiya uchun lim f (x) =

x®a

f (a) bo’ladi.

  1. lim ex = +¥ ,

x®+¥

lim ex = 0 .

x®-¥

  1. a > 1 bo’lganda

lim ax = +¥ ,

x®+¥

lim ax = 0

x®-¥

bo’ladi.

  1. 0 < a < 1 bo’lganda

lim ax = 0 ,

x®+¥

lim ax = +¥

x®-¥

bo’ladi.

  1. a > 0 bo’lganda

lim xa

x®+¥

= +¥ , a < 0 bo’lganda



lim xa = 0

x®+¥

bo’ladi;

  1. lim lnx = +¥,

x®+¥

lim lnx = -¥.

x®+0

6') a > 1 bo’lganda

lim loga x = +¥,

x®+¥

lim loga x = -¥ .

x®+0

  1. 0 < a < 1 bo’lganda

lim loga x = -¥,

x®+¥

lim loga x = +¥ .

x®+0


  1. lim

p

tgx = +¥,

lim

p

tgx = -¥.

x® -0

2

x® +0



2

  1. lim arctgx = p ,

lim arctgx = - p .

x®+¥

2 x®-¥ 2

  1. lim sin x = 1 .

x®0 x

11)

lim æ1 + 1 ö


÷

x

ç
x®±¥ è x ø

= e .



  1. lim a

x®0

-1 = lna .


x
x


x
12') lim e

x®0

-1 = 1.

x


  1. p
    lim (1 + x)

-1 = p .

x®0



  1. lim

x®0

x

loga (1 + x) =

x

ln(1 + x)
1

.

lna



14') lim

x®0 x

= 1 .


Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari


Kesmada uzluksiz funksiyalarning ayrim xossalarini isbotsiz keltiramiz.

Teorema. Agar

f (x) funksiya [a; b]

kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda u bu kesmada o’zining

eng kichik va eng katta qiymatiga erishadi, ya‘ni [a; b]

kesmada shunday

x1 , x2

nuqtalar mavjud

bo’lib [a; b]

kesmadagi barcha х lar uchun

f (x1 ) ³

f (x) va

f (x2 ) £

f (x) tengsizliklar to’g’ri

bo’ladi (94-chizma).

m = f (x2 ) va

M = f (x1 )

y = f (x) funksiyaning [a; b]

kesmadagi eng kichik va eng katta

qiymatlaridir.








Izoh. Teoremaning shartidagi kesmani interval yoki yarim intervalga almashtirish mumkin emas.

Masalan, (0; 1) intervalda uzluksiz

y = x

funksiya

bu intervalda o’zining eng kichik va eng katta qiymatlarini hech biriga erisha olmaydi.


Natija. [a; b] kesmada uzluksiz

94-chizma.

f (x) funksiya shu kesmada chegaralangandir.

Haqiqatan,

f (x) funksiya [a; b]

kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini mos

ravishda M va m orqali belgilasak [a; b]

kesmadagi barcha х lar uchun

m £ f (x) £ M


tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Agar С orqali m va M dan kattasini belgilasak

f (x) £ C


tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlik

f (x) funksiya [a; b]
kesmada chegaralanganligini ko’rsatadi.

Teorema. Agar

f (x) funksiya [a; b]

kesmada uzluksiz va kesmaning oxirida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda

(a; b)intervalda kamida bitta nuqta mavjud

bo’lib, bu nuqtada funksiyaning qiymati nolga teng bo’ladi.






95-chizmada

f (a) > 0 ,

f (b) < 0 va

x1 , x2 , x3







95-chizma.

nuqtalarda funksiyaning grafigi 0х o’qni

kesib o’tadi, demak,

f (x1 ) = 0 ,

f (x2 ) = 0 ,

f (x3 ) = 0 .

Teorema.


f (x) funksiya [a; b]

kesmada uzluksiz bo’lib m va M uning shu kesmadagi eng

kichik va eng katta qiymati bo’lsin, u holda funksiya shu kesmada m bilan M orasidagi barcha

oraliq qiymatlarini qabul qiladi, ya‘ni

m < l < M

shartni qanoatlantiradigan istalgan l son uchun








[a; b] kesmada kamida bitta x = c nuqta mavjud bo’lib, f (c) = l

tenglik to’g’ri bo’ladi(96-hizma).



Izoh. Funksiya [a; b]

kesmaning birorta

nuqtasida uzilishga ega bo’lganda 18.6- va 18.7- teoremalar bajarilmasligi mumkin. Masalan,

1

f (x) = funksiya uchun



x

f (-1) = -1 < 0 , f (1) = 1 > 0

bajarilsada у [-1; 1]



kesmaning hech bir nuqtasida nolga
1
96-chizma.

aylanmaydi. Buning sababi (91-chizma).

f (x) = funksiya [-1; 1]

x

kesmadagi

x = 0

nuqtada uzilishga ega



Download 3.89 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
maxsus ta’lim
O’zbekiston respublikasi
zbekiston respublikasi
axborot texnologiyalari
o’rta maxsus
nomidagi toshkent
guruh talabasi
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
xorazmiy nomidagi
toshkent axborot
pedagogika instituti
rivojlantirish vazirligi
haqida tushuncha
toshkent davlat
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
matematika fakulteti
ta’limi vazirligi
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
samarqand davlat
vazirligi muhammad
pedagogika universiteti
bilan ishlash
fanining predmeti
Darsning maqsadi
navoiy nomidagi
o’rta ta’lim
Ishdan maqsad
haqida umumiy
nomidagi samarqand
fizika matematika
sinflar uchun
fanlar fakulteti
maxsus ta'lim
Nizomiy nomidagi
ta'lim vazirligi
moliya instituti
universiteti fizika
Ўзбекистон республикаси
umumiy o’rta
Referat mavzu
respublikasi axborot
Toshkent axborot
таълим вазирлиги
Alisher navoiy
махсус таълим
Buxoro davlat