Mavzu : Funksiyaning



Download 3.89 Mb.
bet1/5
Sana29.08.2021
Hajmi3.89 Mb.
  1   2   3   4   5

Mavzu : Funksiyaning limiti va uzluksizligi





1.Funksiyaning nuqtadagi limiti 2.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti

Reja:

3.Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi 4.Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar.

  1. Funksiyaning uzluksizligi



f (x)

funksiya х=а nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lsin (х=а nuqtaning o’zida


aniqlanmagan bo’lishi ham mumkin).

D( f ) -funksiyaning aniqlanish sohasidan limitga ega bo’lgan

ixtiyoriy {xn }= {x1, x2 ,...., xn ,...} ketma-ketlikni olamiz.

f (x)

funksiyaning {xn } ketma-ketlikning

nuqtalaridagi qiymatlari {f (xn )} ketma-ketlikni tashkil etadi.

Ta„rif. Argument х ning а dan farqli va unga yaqinlashuvchi barcha {xn } ketma-ketliklar

uchun

y = f (x)

funksiyaning shu ketma-ketlik nuqtalaridagi qiymatlaridan tuzilgan {f (xn )}

ketma-ketlik b songa yaqinlashsa, b son

y = f (x)

funksiyaning х=а nuqtadagi (yoki

x ® a


dagi) limiti deb ataladi va lim f (x) = b yoki

x®a

x ® a da

f (x) ® b ko’rinishda yoziladi.

f (x)

funksiya х=а nuqtada faqat birgina limitga ega bo’ladi. Bu yaqinlashuvchi {f (xn )}

ketma-ketlikning yagona limitga ega ekanligidan kelib chiqadi.

ì1, agar х ratsional son bo'lsа,

9-misol.


D(x) = í ,

Dirixle funksiyasi sonlar o’qining hech

' .


î0 agar х irratsional son bo lsа

bir nuqtasida limitga ega emasligi ko’rsatilsin.



Yechish. Son o’qining istalgan

x0 nuqtasini olamiz. x0

ga yaqinlashuvchi argumentning

{xn }

ratsional sonlar ketma-ketligiga funksiyaning {D(xn )}= {1}

qiymatlari ketma-ketligi mos


bo’lib uning limiti 1 ga teng bo’lishi ravshan.

x ga yaqinlashuvchi argumentning {x } irratsional


n

0
sonlar ketma-ketligiga funksiyaning {D(xn )}= {0 } qiymatlari ketma-ketligi mos kelib uning limiti

0 ga teng bo’ladi. Shunday qilib,

x0 ga yaqinlashuvchi argumentning {xn }

va {xn }



ketma-

ketliklariga funksiyaning shu ketma-ketliklarni nuqtalaridagi qiymatlaridan tuzilgan {D(xn )} va

{D(xn )}

ketma-ketliklar har xil limitlarga ega. Bu funksiyaning limitga ega bo’lish ta‘rifiga xilof.


Demak

D(x)

funksiya x0

nuqtada limitga ega emas. x0

nuqta sonlar o’qining istalgan nuqtasi


bo’lganligi uchun u sonlar o’qining hech bir nuqtasida limitga ega emas. Shunday qilib Dirixle funksiyasi aniqlanish sohasining hech bir nuqtasida limitga ega emas ekan.

Ta„rif. Istalgan

e > 0

son uchun shunday



d > 0

son mavjud bo’lsaki,



x - a < d


tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha а dan farqli х nuqtalar uchun

f (x) - b < e

tengsizlik


bajarilsa, b chekli son

f (x)

funksiyaning х=а nuqtadagi (yoki

x ® a dagi) limiti deb ataladi.


Bu ta‘rifga quyidagicha geometrik izoh berish mumkin. b son

f (x)

funksiyaning х=а


nuqtadagi limiti bo’lganda ( a - d , a + d ) intervaldagi barcha х lar uchun qiymatlari ( b - e , b + e ) intervalda yotadi.

Keltirilgan ta‘riflarni teng kuchliligini ko’rsatish mumkin.

f (x)

funksiyaning



10-misol.


lim x

  • 25 = 2 ekanini tarifdan foydalanib isbotlang.


2
x®5 x2 - 5x



Yechish.


f (x) = x

- 25


funksiyani x=5 nuqtaning biror atrofida, masalan (4,6)


2
x 2 - 5x

intervalda qaraylik. Ixtiyoriy
e > 0
sonni olib
f (x) - b < e ni
x ¹ 5
deb quyidagicha


o’zgartiramiz:

2
x - 25 - 2 =

x2 - 5x
( x - 5)( x + 5) - 2 =

x(x - 5)

x + 5 - 2 = 5 - x x x

5 - x

= .

x



x>4 ekanini hisobga olsak |x|=x>4 bo’lib

5 - x



- 2 <

4
kelib chiqadi. Bundan ko’rinib




turibdiki,

d = 4e

deb olsak, u holda

0 <| x - 5 |< d



tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha


x Î(4; 6)
uchun

- 2 < d = e


tengsizlik bajariladi. Bundan 2 soni

f (x) = x

- 25




2
4 x 2 - 5x


funksiyaning x=5 nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi.

Ta„rif. Istalgancha katta M>0 son uchun shunday
d = d (M ) > 0

son mavjud bo’lib,



| x - a |< d

tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha а dan farqli х lar uchun | f (x) |> M

tengsizlik


bajarilsa,
yoziladi.

x ® a da

f (x)

funksiya cheksizlikka intiladi deb aytiladi va bu

lim f (x) = ¥

x®a

kabi


11-misol. lim 1
= ¥ ekani isbotlansin.


Yechish.


x®2 x - 2
f (x) =
1

x - 2

funksiyani qaraylik. Ixtiyoriy M>0 sonni olsak,


| f (x) |=

1

x - 2
>M tengsizlik

x - 2 < 1

M

bo’lganda bajarilishi ko’rinib turibdi. Agar d = 1

M
deb




olinsa,

x - 2 < d
tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun

> 1 =M yoki



d



>M tengsizlik bajariladi. Bu esa

x ® 2 da
f (x) =

1




x - 2
funksiya cheksizlikka intilishini



bildiradi, ya‘ni

lim 1

= ¥ .



x®2 x - 2


    1. Funksiyaning cheksizlikdagi limiti


Ta„rif. Agar

f (x)

funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan


e > 0

son uchun shunday N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х



lar uchun

f (x) - b < e

tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas b son

y = f (x)

funksiyaning



x ® ¥


dagi limiti deb ataladi va bu

lim f (x) = b kabi yoziladi.

x®¥



12-misol.


lim x + 1 = 1 ekani isbotlansin.

x®¥ x



Yechish.



f (x) =

x + 1


x
funksiyani qaraylik. Istalgan
e > 0
sonni olsak


f (x) - b =

x + 1 -1 =

x

= 1 bo’lib



x

N = 1

e
desak, barcha |x|>N uchun


x + 1 -1 < 1 = e

x N
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan 1 soni
f (x) =

x + 1


x
funksiyaning

x ® ¥


dagi limiti bo’lishi ayon bo’ladi.

Ta„rif. Agar

f (x)

funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan


yetarlicha katta M>0 son uchun shunday N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan


barcha х lar uchun

f (x) > M

tengsizlik bajarilsa,

y = f (x)

funksiya

x ® ¥

da cheksizlikka




intiladi deyiladi va

lim f (x) = ¥

x®¥

kabi yoziladi.

13-misol.


lim x2 = ¥ ekani isbotlansin.

x®¥

Yechish.


f (x) = x 2

funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib

f (x) > M

tengsizlikni


tuzamiz.

x 2 >M, bundan

x > kelib chiqadi.

N = deb olinsa,

x > N

tengsizlikni


qanoatlantiradigan barcha х lar uchun bildiradi.

x2 > N 2 = M tengsizlik bajariladi. Bu

lim x2 = ¥

x®¥

ekanini




Download 3.89 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
maxsus ta’lim
O’zbekiston respublikasi
zbekiston respublikasi
axborot texnologiyalari
o’rta maxsus
nomidagi toshkent
guruh talabasi
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
xorazmiy nomidagi
toshkent axborot
pedagogika instituti
rivojlantirish vazirligi
haqida tushuncha
toshkent davlat
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
matematika fakulteti
ta’limi vazirligi
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
samarqand davlat
vazirligi muhammad
pedagogika universiteti
bilan ishlash
fanining predmeti
Darsning maqsadi
navoiy nomidagi
o’rta ta’lim
Ishdan maqsad
haqida umumiy
nomidagi samarqand
fizika matematika
sinflar uchun
fanlar fakulteti
maxsus ta'lim
Nizomiy nomidagi
ta'lim vazirligi
moliya instituti
universiteti fizika
Ўзбекистон республикаси
umumiy o’rta
Referat mavzu
respublikasi axborot
Toshkent axborot
таълим вазирлиги
Alisher navoiy
махсус таълим
Buxoro davlat