Mavzu : Funksiyaning

Mavzu : Funksiyaning limiti va uzluksizligi

1.Funksiyaning nuqtadagi limiti 2.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti

Reja:

3.Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi 4.Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar.

5. 
   Funksiyaning uzluksizligi
   

f (x)

funksiya х=а nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lsin (х=а nuqtaning o’zida

aniqlanmagan bo’lishi ham mumkin).

D( f ) -funksiyaning aniqlanish sohasidan limitga ega bo’lgan

ixtiyoriy {x_n }= {x₁, x₂ ,...., x_n ,...} ketma-ketlikni olamiz.

f (x)

funksiyaning {x_n } ketma-ketlikning

nuqtalaridagi qiymatlari {f (x_n )} ketma-ketlikni tashkil etadi.

Ta„rif. Argument х ning а dan farqli va unga yaqinlashuvchi barcha {x_n } ketma-ketliklar

uchun

y = f (x)

funksiyaning shu ketma-ketlik nuqtalaridagi qiymatlaridan tuzilgan {f (x_n )}

ketma-ketlik b songa yaqinlashsa, b son

y = f (x)

funksiyaning х=а nuqtadagi (yoki

x ® a

dagi) limiti deb ataladi va lim f (x) = b yoki

x®a

x ® a da

f (x) ® b ko’rinishda yoziladi.

f (x)

funksiya х=а nuqtada faqat birgina limitga ega bo’ladi. Bu yaqinlashuvchi {f (x_n )}

ketma-ketlikning yagona limitga ega ekanligidan kelib chiqadi.

ì^{1, agar х ratsional son bo'lsа,}

9-misol.

D(x) = _{í ,}

Dirixle funksiyasi sonlar o’qining hech

' .

_î0 agar х irratsional son bo lsа

bir nuqtasida limitga ega emasligi ko’rsatilsin.

Yechish. Son o’qining istalgan

x₀ nuqtasini olamiz. x₀

ga yaqinlashuvchi argumentning

{x_n }

ratsional sonlar ketma-ketligiga funksiyaning {D(x_n )}= {1}

qiymatlari ketma-ketligi mos

bo’lib uning limiti 1 ga teng bo’lishi ravshan.

x ga yaqinlashuvchi argumentning {x } irratsional

n

0
sonlar ketma-ketligiga funksiyaning {D(x_n )}= {0 } qiymatlari ketma-ketligi mos kelib uning limiti

0 ga teng bo’ladi. Shunday qilib,

x₀ ga yaqinlashuvchi argumentning {x_n }

va {x_n }

ketma-

ketliklariga funksiyaning shu ketma-ketliklarni nuqtalaridagi qiymatlaridan tuzilgan {D(x_n )} va

{D(x_n )}

ketma-ketliklar har xil limitlarga ega. Bu funksiyaning limitga ega bo’lish ta‘rifiga xilof.

Demak

D(x)

funksiya x₀

nuqtada limitga ega emas. x₀

nuqta sonlar o’qining istalgan nuqtasi

bo’lganligi uchun u sonlar o’qining hech bir nuqtasida limitga ega emas. Shunday qilib Dirixle funksiyasi aniqlanish sohasining hech bir nuqtasida limitga ega emas ekan.

Ta„rif. Istalgan

e > 0

son uchun shunday

d > 0

son mavjud bo’lsaki,

x - a < d

tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha а dan farqli х nuqtalar uchun

f (x) - b < e

tengsizlik

bajarilsa, b chekli son

f (x)

funksiyaning х=а nuqtadagi (yoki

x ® a dagi) limiti deb ataladi.

Bu ta‘rifga quyidagicha geometrik izoh berish mumkin. b son

f (x)

funksiyaning х=а

nuqtadagi limiti bo’lganda ( a - d , a + d ) intervaldagi barcha х lar uchun qiymatlari ( b - e , b + e ) intervalda yotadi.

Keltirilgan ta‘riflarni teng kuchliligini ko’rsatish mumkin.

f (x)

funksiyaning

10-misol.

lim ^x

• 
  ²⁵ = 2 ekanini tarifdan foydalanib isbotlang.
  

2
^x®5 x² - 5x

Yechish.

f (x) = ^x

- 25

funksiyani x=5 nuqtaning biror atrofida, masalan (4,6)

2
x ² - 5x

intervalda qaraylik. Ixtiyoriy
e > 0
sonni olib
f (x) - b < e ni
x ¹ 5
deb quyidagicha

o’zgartiramiz:

2
x - 25 _{- 2 =}

x² - 5x
( x - 5)( x + 5) _{- 2 =}

x(x - 5)

x + 5 _{- 2 =} 5 - x x x

5 - x

= .

x

x>4 ekanini hisobga olsak |x|=x>4 bo’lib

5 - x

- 2 <

4
kelib chiqadi. Bundan ko’rinib

turibdiki,

d = 4e

deb olsak, u holda

0 <| x - 5 |< d

tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha

x Î(4; 6)
uchun

- 2 < ^d = e

tengsizlik bajariladi. Bundan 2 soni

f (x) = ^x

- 25

2
4 x ² - 5x

funksiyaning x=5 nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi.

Ta„rif. Istalgancha katta M>0 son uchun shunday
d = d (M ) > 0

son mavjud bo’lib,

| x - a |< d

tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha а dan farqli х lar uchun | f (x) |> M

tengsizlik

bajarilsa,
yoziladi.

x ® a da

f (x)

funksiya cheksizlikka intiladi deb aytiladi va bu

lim f (x) = ¥

x®a

kabi

11-misol. lim ¹
= ¥ ekani isbotlansin.

Yechish.

x®2 _{x - 2}
f (x) =
1

x - 2

funksiyani qaraylik. Ixtiyoriy M>0 sonni olsak,

| f (x) |=

1

x - 2
>M tengsizlik

x - 2 < ¹

M

bo’lganda bajarilishi ko’rinib turibdi. Agar d = ¹

M
deb

olinsa,

x - 2 < d
tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun

> ¹ =M yoki

d

>M tengsizlik bajariladi. Bu esa

x ® 2 da
f (x) =

1


x - 2
funksiya cheksizlikka intilishini

bildiradi, ya‘ni

lim ¹

= ¥ .

x®2 _{x - 2}

1. Funksiyaning cheksizlikdagi limiti

Ta„rif. Agar

f (x)

funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan

e > 0

son uchun shunday N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х

lar uchun

f (x) - b < e

tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas b son

y = f (x)

funksiyaning

x ® ¥

dagi limiti deb ataladi va bu

lim f (x) = b kabi yoziladi.

x®¥

12-misol.

lim ^{x + 1} = 1 ekani isbotlansin.

x®¥ _x

Yechish.

f (x) =

x + 1


x
funksiyani qaraylik. Istalgan
e > 0
sonni olsak

f (x) - b =

x + 1 _{-1 =}

x

= ¹ bo’lib

x

N = ¹

e
desak, barcha |x|>N uchun

^{x + 1} -1 < ¹ = e

x N
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan 1 soni
f (x) =

x + 1


x
funksiyaning

x ® ¥

dagi limiti bo’lishi ayon bo’ladi.

Ta„rif. Agar

f (x)

funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan

yetarlicha katta M>0 son uchun shunday N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan

barcha х lar uchun

f (x) > M

tengsizlik bajarilsa,

y = f (x)

funksiya

x ® ¥

da cheksizlikka

intiladi deyiladi va

lim f (x) = ¥

x®¥

kabi yoziladi.

13-misol.

lim x² = ¥ ekani isbotlansin.

x®¥

Yechish.

f (x) = x ²

funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib

f (x) > M

tengsizlikni

tuzamiz.

x ² >M, bundan

x > kelib chiqadi.

N = deb olinsa,

x > N

tengsizlikni

qanoatlantiradigan barcha х lar uchun bildiradi.

x² > N ² = M tengsizlik bajariladi. Bu

lim x² = ¥

x®¥

ekanini