Mavzu : Funksiyaning

Ikkinchi ajoyib limit

Ushbu {x

}= ^ïìæ1 +

¹ ö ï^ü


n
÷ _ý
sonli ketma-ketlikni qaraymiz, bunda n-natural son.

_íç
n ï_îè ⁿ ø ï_þ

Teorema. Umumiy hadi
yotadigan limitga ega.

x = ^æ1 + ^{1 ö}


_n ç

n

÷
è ⁿ ø

bo’lgan ketma-ketlik

n ® ¥

da 2 bilan 3 orasida

Isboti. Nyuton binomi formulasi

(а + b)ⁿ = aⁿ + ⁿ a^n-1b + ^{n(n -1)} a^n-2b² + ^{n(n -1)(n - 2)} a^n-3b³ + ... +

1 1× 2

1× 2 × 3

₊ n(n -1)(n - 2)...[n - (n -1)] _bn

1× 2 × 3 × ... × n

dan foydalanib ketma-ketlikni

x_n va

x_n+1 hadlarini quyidagi ko’rinishda yozamiz:

n
æ₁ ¹ ö

₁ n 1

n(n - 1)

_ç 1 _{÷ +} n(n - 1)(n - 2) _ç 1 _÷

3
+ ... +

2
ç ⁺ ÷ ^{= + × +}

_× æ ö æ ö

è ⁿ ø

1 n 1× 2

è ⁿ ø

n

1× 2 × 3

è ⁿ ø

₊ n(n - 1)(n - 2)...[n - (n - 1)] _ç 1 _÷

1 1

^{1 1} ç¹ ÷

1

ç¹

1

÷ç¹

2

÷ ^{+ ... +}

(17.4)

1× 2 × 3 × ... × n

æ ö

è ⁿ ø

= + +

æ _-

1× 2 _è

ö ₊ æ _-

n _ø 1× 2 × 3 _è

öæ _- ö

ⁿ øè ⁿ ø

æ öæ

ö æ ^{n -} ö

^{+ 1} ç^{1 - 1} ÷ç^{1 - 2} ÷^...ç^{1 - 1}÷^,

1× 2 × 3...n _è

ⁿ øè

ⁿ ø è ⁿ ø

x = 1 +
æ

n +1 ^ç

n +1


1
ö

÷
= 1 + 1 +

¹ æ ¹ ö

ç^{1 -} ÷ <sup>+

1</sup> æ

ç<sup>1 -

1</sup> öæ

֍<sup>1 -

2</sup> ö

÷ ^{+ ... +}

_è n + 1_ø

1× 2 _è

n + 1_ø

1× 2 × 3 _è

n + 1_øè

n + 1_ø

¹ æ ¹ öæ

² ö æ

^{n -1}ö

¹ æ ¹ öæ

² ö æ ⁿ ö

⁺ ç^{1 -}

֍^{1 -}

÷^...ç^{1 -} ÷ ⁺

ç^{1 -}

֍^{1 -}

÷^...ç^{1 -} ÷

1× 2 × 3...n _è

n + 1_øè

n + 1_{ø è}

n + 1_ø

1× 2 × 3...(n + 1) _è

n + 1_øè

n + 1_{ø è}

n + 1_{ø .}

x_n bilan

^xn+1

ni taqqoslasak,

^xn+1

had

x_n haddan bitta musbat qo’shiluvchiga ortiqligini

ko’ramiz.

1 - ^k

n + 1

> 1 - ^k

n

(k = 1,2,3..., n -1)

bo’lgani uchun uchinchi haddan boshlab

x_n+1 dagi

har bir qo’shiluvchi

x_n dagi unga mos qo’shiluvchidan katta. Demak, istalgan n uchun

x_n+1 > x_n va

umumiy hadi

x = ^æ1 + ^{1 ö}


_n ç

n

÷
è ⁿ ø

bo’lgan ketma-ketlik monoton o’suvchi.

Endi berilgan ketma-ketlikni chegaralanganligini ko’rsatamiz. Istalgan k=1,2,3,… uchun

1 - ^k < 1

n
ekanini hisobga olib (17.4) formuladan

n
æ ¹ ö _{1 1}
1
1
...
1

^x_n ⁼ ç^{1 +} ÷ ^{< +}

n

+ + +

1× 2 1× 2 × 3

+

1× 2 × 3 × ... × n

è ø

tengsizlikni hosil qilamiz.

So’ngra

1 _<

1× 2 × 3

1 _, 1 _<

2² 1× 2 × 3 × 4

¹ , ...,

₂3

1 _<

1× 2 × 3 × ... × n

1


₂n-1

ekanligini ta‘kidlab tengsizlikni

n
æ ¹ ö
æ ^{1 1 1 1} ö

^x_n ⁼ ç^{1 +} ÷

n

^{<1 +} ç^{1 + + + + ... + + ...}÷

_{2 2}2 ₂3 ₂n-1

è ø è ø

ko’rinishda yozamiz. Qavsga olingan yig’indi birinchi hadi а=1 va maxraji q= ¹ bo’lgan

2

geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini ifodalanganligi uchun cheksiz kamayuvchi

geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini topish formulasi

S = ^a

1 - q
ga asosan

n
æ ¹ ö ¹

^x_n ⁼ ç^{1 +} ÷

n

<1 +

= 1 + 2 = 3

1

è ø _{1 -}

2

tengsizlikka ega bo’lamiz. Ketma-ketlik monoton o’suvchi bo’lganligi sababli uning birinchi hadi

^{x =} ç^{1 + 1}÷
= 2 uning qolgan barcha hadlaridan kichik bo’ladi.

1
æ ö

1 è ¹ø

Demak, barcha n uchun

^{2 £} ç^{1 + 1} ÷ ^{< 3}
o’rinli, ya‘ni umumiy hadi
^{x =} ç^{1 +}
n

_÷ bo’lgan

n
æ ö



è ⁿ ø

æ ¹ ö

n è ⁿ ø

ketma-ketlik monoton o’suvchi va chegaralangan. Shu sababli u monoton chegaralangan ketma- ketlikning limiti mavjudligi haqidagi 16.1-teoremaga ko’ra chekli limitga ega. Bu limitni е harfi bilan belgilaymiz, ya‘ni

^limç^{1 + 1} ÷
= e .

n
æ ö



n®¥_{è n ø}

е-irratsional son. Keyinroq uni istalgan darajada aniqlik bilan hisoblash usuli ko’rsatiladi.

е = 2,7182818284...

ç

х

÷
Teorema. ^æ1 + ^{1 ö}

è ^х ø

funksiya

х ® ¥ da е songa teng limitga ega:

ç¹

х

÷
lim^æ + ^{1 ö} = e

х®¥_{è х ø}
(17.5).

Isboti. 1)

х ® ¥ deylik. U holda

n £ x < n +1;

1 _³ 1 _> 1 _,

n x n + 1

1 + ¹ ³ 1 + ¹ > 1 + ¹ ,
æ

ç^{1 +}

1
n+1

ö

÷

³ +

> +

x

n
æ ¹ ö æ ¹ ö

ç¹ ÷ ç¹ ÷
bo’ladi. Agar
х ® +¥, u holda

n x n + 1

è ⁿ ø

è ^x ø

_è n + 1_ø

x

n
n ® ¥ va

lim ^æ +

1
n+1

ö

÷ ^³

lim ^æ + ^{1 ö}

³ lim ^æ +

^{1 ö} yoki

ç¹
n®¥ _{è n ø}

х®+¥ _{è x ø}

n®¥ _è

n + 1_ø

ç¹

ç¹

÷

÷

n ^1ö æ ÷ ç^1^+		^1ö ÷ ^³^l	æ ^imç^1^+	x ^1ö ÷ ^³	æ ^limç^1^+	n+1 ^1ö æ ÷ ç^1^+		- ^1ö ÷
n ø	è	n ø х	®+¥ è	x ø	n®¥ è	n + 1ø	è	n ø

1

æ

^lim ç^{1 +}

n®¥ _è

x

x
æ ö æ ¹ ö

e ×1 ³

^lim ç^{1 + 1} ÷

³ e ×1

bundan

^lim ç^{1 +}

÷ ^{= е}

kelib chiqadi.

х®+¥ _{è x ø}

х®+¥ _{è x ø}

2) х ® -¥

deylik. Yangi t=-(x+1) yoki х=-(t+1) o’zgaruvchini kiritamiz.

t ® +¥ da

х ® -¥ va

ç¹

x

÷
lim ^æ + ^{1 ö}

= lim ^æ -

1
-(t +1)

ö

÷

= lim ^{æ t}
-(t +1)

ö

÷ ⁼

х®-¥ _{è x ø}

t ®+¥ _è

t + 1_ø

t ®+¥ _{è t + 1ø}

æ ^{+ 1}ö

ç¹

ç
t +1
æ ¹ö
t +1

t
æ ¹ö æ ¹ö

^{= lim} ç ^t ÷

t ®+¥ _{è t ø}

^{= lim} ç^{1 +} ÷

t ®+¥ _{è t ø}

^{= lim} ç^{1 +}

t ®+¥ _è

÷ ç^{1 +}

^t ø è

÷ ^{= е ×1 = e .}

t _ø

Shunday qilib,

yuritiladi.

lim ^æ1 + ^{1 ö} = е


ç

x

÷
х®±¥ _{è x ø}
ekanini isbotladik. Bu limit ikkinchi ajoyib limit deb

Agar bu tenglikda

¹ = a

х
deb faraz qilinsa, u holda
х ® ¥ da a ® 0
(a ¹ 0) va

1

lim (1 + a )^a = е

a ®0

tenglikni hosil qilamiz. Bu ikkinchi ajoyib limitning yana bir ko’rinishi.

ç

x

÷
у =^æ1 + ^{1 ö}

è ^x ø

funksiyaning grafigi 89-chizmada tasvirlangan.

Chizmadan ko’inib turibdiki bu funksiya (-

1,0) intervalda aniqlanmagan, ya‘ni

1 + ¹ < 0 ,

x

chunki

1 + ¹ = ^{x + 1} va

x +1 > 0, x < 0 .

x x

Izoh. Asosi е bo’lgan

y = e^x

ko’ursatkichli funksiya eksponental funksiya deb ataladi. Bu funksiya mexanikada(tebranishlar nazariyasida),
89-chizma.

elektrotexnikada va radiotexnikada, radioximiyada va hokazolarda turli hodisalarni o’rganishda katta rol o’ynaydi.

Izoh. Asosi

е = 2,7182818284... sondan iborat logarifmlar natural logarifmlar yoki Neper

logarifmlari deb ataladi va

log b

log_e x

o’rniga

ln x

deb yoziladi. Bir asosdan ikkinchi asosga o’tish

formulasi
mumkin:

log

_ab =

c

log_c a

dan foydalanib o’nli va natural logarifmlar orasida bog’lanish o’rnatish

lg x =

ln x


ln10

₌ 1

ln10
ln x = 0,434294 ln x
yoki
ln x = ln10 lg x = 2,302585lg x .

n+8

n 8 n 8