Mavzu : Funksiyaning

14-misol.

^lim ç^{1 + 1} ÷

^{= lim} ç^{1 + 1} ÷ ç^{1 + 1} ÷

^{= lim}ç^{1 + 1} ÷

^limç^{1 + 1} ÷

= e(1 + 0)

= e .

æ ö

n®¥ _{è n ø}

æ

n®¥ _è

ö æ ö

ⁿ ø è ⁿ ø

æ

n®¥_è

^{ö æ ö} 8

_{n ø} n®¥_{è n ø}

15-misol.

lim ^æ1 + ^{3 ö}


ç

x

÷
x®¥ _{è x ø}

topilsin.

Yechish. х=3t desak,

x ® ¥

da t ® ¥ va

ç¹

x

÷
lim ^æ + ^{3 ö}

x®¥ _{è x ø}


1
3t


÷

ç¹
= lim ^æ + ^ö

t®¥ _{è t ø}

÷

t

ç¹
= lim ^æ + ^1ö

t®¥ _{è t ø}

t
æ ¹ö

ç¹⁺ ÷

è ^t ø

t
æ ¹ö

ç¹⁺ ÷ ⁼

è ^t ø

t t t

^{= lim} ç^{1 + 1}÷ ^lim ç^{1 + 1}÷ ^lim ç^{1 + 1}÷

= e × e × e = e³

bo’ladi.

æ

t ®¥ _è

ö æ



_{t ø} t ®¥ _è

ö æ ö

 

_{t ø} t ®¥ _{è t ø}

æ ^{x + 4} ö

x+2

æ ^{x +1+ 3} ö

x+1+1

æ ³ ö

( x+1)+1

16-misol.

^lim ç

÷ ^{= lim} ç

÷ ^{= lim} ç¹⁺ ÷ ⁼

x®¥ _{è x +1 ø}

x®¥ _è

x +1 _ø

x®¥ _è

x +1_ø

y +1

æ ö

y 1

æ ö æ ö

3

= lim _ç^ç1 + _÷^÷

3

= lim ^ç_ç1 + ^÷_÷

3

× lim ^ç_ç1 + ^÷_÷

= e³ ×1 = e³.

y ®¥ _{è y ø}

y ®¥ <sub>è

y ø</sub> y ®¥ _{è y ø}

Ikkinchi ajoyib limit

1^¥ ko’rinishdagi aniqmaslik ekanini ta‘kidlab o’tamiz.

Cheksiz kichik funksiyalarni taqqoslash

a = a (x) va

b = b (x)

funksiya

x ® a

(yoki

x ® ¥ ) da cheksiz kichik funksiyalar bo’lsin.

Bu funksiyalarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi ham cheksiz kichik funksiya bo’lishini ko’rdik. Ularning nisbati, ya‘ni bo’linmasi haqida gapirilmagan edi. Ikkita cheksiz kichik funksiyalarni ularning nisbatlarini limitiga qarab taqqoslanadi.

1-ta„rif. Agar

lim ^a = 0

b

(yoki

lim ^b

a

= ¥ ) bo’lsa, a funksiya b funksiyaga nisbatan

yuqori tartibli cheksiz kichik funksiya deyiladi.

Masalan

x ® 0

da a = sin ² x funksiya

b = x funksiyaga nisbatan yuqori tartibli cheksiz

kichik funksiya, chunki

2
lim sin² x = 0 , lim x = 0 va

_lim sin

^x = lim ^{sin x} lim sin x = 1× 0 = 0.

x®0

x®0

x®0 _x

x®0

_x x®0

2-ta„rif. Agar
funksiyalar deyiladi.

lim ^a

b

= A ¹ 0

bo’lsa, a va b funksiyalar bir xil tartibli cheksiz kichik

Masalan

x ® 0

da a = sin 3x

va b = x

funksiyalar bir xil tartibli cheksiz kichik

funksiyalardir, chunki

lim sin 3x = 0 , lim x = 0 va

lim ^{sin 3x} = 3 ¹ 0.

x®0

x®0

x®0 _x

3-ta„rif. Agar

lim ^a

b

= 1 bo’lsa, a va b cheksiz kichik funksiyalar ekvivalent deb ataladi

va a ~ b yoki a » b

kabi yoziladi.

Masalan, x ® 0 da sinx~x, chunki lim ^{sin x} = 1 va

x ® 0 da tgx~x, chunki lim ^{tg x} = 1.

x®0 _x

x®0 _x

Amaliyotda qo’yidagi teoremadan ko’p foydalaniladi.

a a₁

Teorema. Agar a ~a₁ , b ~ b₁ bo’lsa,

lim

b

= lim

b₁

tenglik to’g’ridir.

Haqiqatan

lim ^a

= lim ^{a a1 b1} = lim ^a lim ^a1 lim ^b1 = 1× lim ^a1 ×1 = lim ^a1 .

b a₁ b₁ b

a₁ b₁ b

b₁ b₁

17. 
    misol. lim ^{sin 5x} = lim ^5x = 5.
    

x®0 _x

x®0 _x

17. 
    misol. lim
    

tg 5x

= lim ^5x = ⁵ .

^x®0 sin 7x

x®0 _{7x 7}

4. Funksiyaning uzluksizligi

Argument va funksiyaning orttirmalari

y = f (x)

funksiya (a; b)

intervalda aniqlangan bo’lsin. Bu intervaldan ixtiyoriy

x₀ nuqtani

olamiz, unga funksiyaning

y₀ =

f (x₀ ) qiymati mos keladi (90-chizma).

(a; b)

intervaldan olingan argumentning boshqa х qiymatiga funksiyaning

y = f (x)

qiymati mos

keladi.

x - x₀

ayirma х argumentning x₀

nuqtadagi orttirmasi deyiladi va Dx

orqali belgilanadi.

f (x) - f (x₀ ) ayirma

f (x)

funksiyaning argument orttirmasi

Dx ga mos orttirmasi deyiladi va Dy

orqali belgilanadi. Shunday qilib,

Dx = x - x₀ ,

Dy = f (x) - f (x₀ ) . Bundan

x = x₀ + Dx ,

Dy = f (x₀ + Dx) - f (x₀ ) . 90-chizmada (a; b) intervalning hech bir nuqtasida grafigi uzilmaydigan

funksiya tasvirlangan. Undan ko’rinib turibdiki argumentning kichik Dx

orttirmasiga funksiyaning

ham kichik Dy

orttirmasi mos keladi. Boshqacha aytganda argument х ning bir-biriga yaqin

qiymatlariga funksiyaning ham bir-biriga yaqin qiymatlari mos keladi. Bu qoida har qanday

funksiya uchun ham to’g’ri kelavermaydi. Masalan,

y = ¹

x
funksiyani qaraylik. х ning bir-biriga

6
ancha yaqin

x = -10^-6 va

x = 10⁶

qiymatlariga funksiyani bir-biridan katta farq qiladigan

1

2

6
y₁ = -10

va y₂ = 10

qiymatlari mos keladi. Boshqacha aytganda argumentning juda kichik

-6
Dx = x₂ - x₁ = 2 ×10

orttirmasiga

funksiyaning ancha katta

Dy = y₂

• 
  y₁
  

= 2 ×10⁶

orttirmasi mos keladi. Agar biz

y = ¹

x
funksiyani

grafigini (91-chizma) kuzatsak grafikning uzilishga ega (u ikki bo’lakdan iborat) ekanligini va uzilish х ning х=0 qiymatida sodir

bo’lishini ko’ramiz. Shuning uchun ham argumentning

90-chizma.

x₀ =0 nuqtaga yaqin nuqtalardagi kichik

orttirmasiga funksiyaning kichik orttirmasi mos kelmaydi. Bu kabi hollar barcha funksiyalar sinfini ikkiga, ya‘ni grafigi uzilmaydigan va grafigi bir nechta qismlardan iborat funksiyalar sinfiga bo’lib o’rganishni taqozo etadi.

Funksiyaning nuqtada va intervalda uzluksizligi

y = f (x) funksiya

x₀ nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan bo’lsin.

1-ta„rif.

lim

x® x₀

f (x) =

f (x₀ ) , (18.1)

ya‘ni funksiyaning

x₀ nuqtadagi limiti uning shu

nuqtadagi qiymatiga teng bo’lsa,

y = f (x)

funksiya

x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.

Bu ta‘rifga teng kuchli yana bir ta‘rifni

keltiramiz.

2-ta„rif. Istalgan

e > 0
son uchun shunday d = d (e ) > 0

91-chizma.








son mavjud bo’lsaki,
x - x₀ < d

shartni qanoatlantiradigan istalgan х uchun

f (x) - f (x₀ ) < e

tengsizlik bajarilsa,

y = f (x)

funksiya

x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.

3-ta„rif.

lim Dy = 0

Dx®0

(18.2)

bo’lsa,

y = f (x) funksiya

x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.

90-chizmada tasvirlangan

y = f (x)

funksiya x₀

bajariladi.

nuqtada uzluksiz, chunki (18.2) shart

92-chizmada tasvirlangan

y = f (x)

funksiya

x₀ nuqtada uzluksiz emas, chunki

lim Dy ¹ 0 .

Dx®0

1-misol.

y = x²

funksiyani ixtiyoriy

92-chizma.


0
x₀ nuqtada uzluksizligini ko’rsating. Yechish. Bu

funksiya butun sonlar o’qida aniqlangan. Dy

ni tuzamiz:

f (x) = x² ;

f (x₀

) = x ² ;

Dy =

f (x₀ + Dx) = (x₀ + Dx) ;


2
2 2 2 2 2 2

f (x₀ + Dx) - f (x₀ ) = (x₀ + Dx)

• 
  x₀
  

= x₀ + 2x₀ Dx + Dx

• 
  x₀
  

= 2x₀ Dx + Dx .

Demak,

lim Dy = lim (2x Dx + Dx² ) = 0 va

y = x²

funksiyani ixtiyoriy x

Dx®0
nuqtada uzluksiz.

Shunday qilib,

Dx®0 ^{0 0}

y = x² funksiya aniqlanish sohasining har bir nuqtasida uzluksiz ekan.

2-misol.

y = sin x funksiyani ixtiyoriy x₀

nuqtada uzluksizligini ko’rsating.

Yechish.

f (x) = sin x

Dy =

f (x

• 
  Dx) - f (x ) = sin(x
  
• 
  Dx) - sin x
  

_{= 2sin} x₀ + Dx - x_{0 cos} x₀ + Dx + x_{0 =}

0 0 0 0 _{2 2}

^Dx æ ^Dx ö

= 2sin

^cosç ^x₀ ⁺ ÷^, 2 _è 2 _ø

Dx
æ ^Dx ö
^Dx æ ^Dx ö

lim Dy = lim 2sin

^cosç ^x₀ ⁺

÷ ^{= 2 lim sin}

^{lim cos}ç ^x₀ ⁺

÷ ^{= 0 ,}

Dx®0

Dx®0

2 _è 2 _ø

Dx®0

₂ Dx®0 _{è 2 ø}

chunki

lim sin ^Dx = 0 .

Dx®0 ₂

Har bir elementar funksiya uchun shu tariqa mulohaza yuritib quyidagi teoremaning to’g’riligiga iqror bo’lamiz.

18.1-teorema. Asosiy elementar funksiyalar o’zlari aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksizdir.

Bir tomonlama limit tushunchasidan foydalanib uzluksizlikni quyidagicha ta‘riflash mumkin.

4. 
   ta„rif. Funksiyaning x₀
   

nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari mavjud va o’zaro teng

bo’lsa,

y = f (x) funksiya

x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.

Shunday qilib

f (x)

funksiya x₀

nuqtada uzluksiz bo’lishi uchun u shu nuqtada aniqlangan

va f (x₀ - 0) =

f (x₀ + 0) =

f (x₀ ) shart bajarilishi lozim ekan.

Yana 1-ta‘rifga qaytib uni

lim

x®x₀

f (x) =

f ( lim x)

x®x₀

ko’rinishda yozamiz. Bundan ko’rinib

turibdiki

x₀ nuqtada funksiya uzluksiz bo’lsa funksiyaning shu nuqtadagi limitini topishda limit

ishorasini funksiya belgidan ichkariga kiritish mumkin ekan.

1 _é 1 _ù

3-misol.

lim ^{ln(1 + x)} = lim ¹ ln(1 + x) = lim ln(1 + x) ^x

= ln_êlim(1 + x) ^x _ú = lne = 1.

x®0 _x

x®0 _x

x®0

_êëx®0 _úû

Bu yerda

ln х funksiyani х=е nuqtada uzluksizligidan foydalanib limitni funksiya

ishorasi ln

ning ichkarisiga kiritdik.

5-ta„rif. (a; b)

uzluksiz deb ataladi.

intervalning barcha nuqtalarida uzluksiz

f (x)

funksiya shu intervalda

Agar funksiya

x₀ nuqtada aniqlangan bo’lib

lim

x® x₀ +0

f (x) =

f (x₀ )

bo’lsa

y = f (x)

funksiya

х= x₀ nuqtada o‟ngdan uzluksiz deyiladi.

Agar funksiya х= x₀

nuqtada aniqlangan bo’lib

lim

x® x₀ -0

f (x) =

f (x₀ )

bo’lsa

y = f (x)

funksiya х= x₀ nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi.

6-ta„rif.

y = f (x)

funksiya (a; b)

intervalda uzluksiz bo’lib х=а nuqtada o’ngdan va х=b

nuqtada chapdan uzluksiz bo’lsa, u [a; b] kesmada uzluksiz deb ataladi.

5-va 6-ta’riflarga hamda 18.1 teoremaga asoslanib

y = a^x ,

y = sin x ,

y = cos x

funksiyalar

butun sonlar o’qida,

y = log_a x funksiya (0; + ¥) intervalda,

y = funksiya [0; + ¥) intervalda,

y = ¹

x

funksiya (- ¥;0)È (0; + ¥) intervalda uzluksiz ekanligini ta‘kidlab o’tamiz.
Shuningdek ko’phad butun sonlar o’qida, kasr-ratsional funksiya x ning kasr maxrajini

nolga aylantirmaydigan barcha qiymatlarida uzluksiz ekanini eslatib o’tamiz.

Teorema. Agar f(x) va g(x) funktsiyalar

x₀ nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda ularning

f (x)

algebraik yig’indisi, ko’paytmasi va
uzluksiz bo’ladi.

g(x₀ ) ¹ 0

bo’lganda


g(x)

bo’linmasi ham shu

x₀ nuqtada

Bu teoremaning isboti funksiya limitining xossalariga asoslangan.

Endi murakkab funksiyaning uzluksizligiga oid teorema bilan tanishamiz.

Nuqtada uzluksiz funksiya xossalarini ifodalovchi teorema bilan tanishamiz.

Teorema. Agar

u = j(x)

funksiya

x₀ nuqtada uzluksiz,

y = f (u)

funksiya

u₀ = j(x₀ )

nuqtada uzluksiz funksiya bo’lsa, u holda uzluksiz bo’ladi.

y = f [j(x)]

murakkab funksiya ham

x₀ nuqtada

Isboti.

lim

x® x₀

f [j(x)] =

f [j(x₀ )]

ekanligini ko’rsatamiz.

u = j(x)

funksiyaning x₀

nuqtada

uzluksizligidan

lim j(x) = j(x₀ ) = u₀

x® x₀

ga ega bo’lamiz, ya‘ni

x ® x₀

да u ® u₀ .

f (u)

funksiyaning shu nuqtada uzluksizligini hisobga olsak

lim

x®x₀

f [j(x)] = lim

u ®u₀

f (u) =

f (u₀ ) =

f [j(x₀ )].

Shunday qilib ikkita uzluksiz

f (u)

va j(x)

funksiyalardan tashkil topgan

y = f [j(x)]

funksiya ham uzluksiz bo’lar ekan. Masalan,

y = ln(4 - x² ) murakkab funksiya х ning

4 - x² > 0

tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida, ya‘ni (- 2; 2)

intervalda uzluksiz.

Asosiy elementlar va murakkab funksiyani uzluksizligi haqidagi teoremalarga tayanib elementar funksiyaning uzluksizligi haqidagi qo’yidagi teoremaga ega bo’lamiz.

Teorema. Barcha elementar funksiyalar o’zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdirlar.

4-misol.

lim

p

4^{sin x} topilsin.

x®

2

Yechish. 4^s

^{xi n}murakkab funksiya
x = ^p

2

nuqtada uzluksiz bo’lgani uchun

lim

p
₄sin x _{= 4}
p

sin

2
= 4¹ = 4

bo’ladi.

x®

2

4. 
   misol. lim
   

x®0

^{a -1} topilsin.


x
x

Yechish. Bu yerda

⁰ ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz.

0
a^x -1 = t
almashtirish olamiz. U

holda a^x = 1 + t ,

x = log_a

(1 + t)

bo’lib

x ® 0 da t ® 0 va

lim

a -1 _{= lim} t

= lim ¹ = ¹

1

= = log a = lna

bo’ladi.

x
x log_a (1 + t ) _log

(1 + t )

lim log

(1 + t )^t

log_ae

x®0

t ®0

^{t ®0} 1

_t a

1 ^e

t ®0 ^a

Xususiy holda lim

x®0

^{e -1} = lne = 1


x
x

kelib chiqadi, ya‘ni

x ® 0 da e^x -1 ~ х .

6-misol.

lim

x®0

(1 + x)^p -1

x

topilsin.

Yechish. Bu yerda

⁰ ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. (1 + x)^p -1 = y

0

almashtirish

olamiz. U holda (1 + x)^p = 1 + y , yoki buni e asosga ko’ra logarifmlasak

pln(1+ x) = ln(1+ y)

bo’ladi.

x ® 0 da

y ® 0 . Demak,

lim

(1 + x)^p -1

x

= lim

^y = lim

x

pln(1 + x) _×

x

y

n(1 + y) ^{= p lim}

ln(1 + x)

x

lim

y

_{n(1 + y)} = p ×1×1 = p.

x®0

x®0

x®0 _l

(1 + x)^p -1

x®0

y ®0 _l

Shunday qilib,

lim

x®0

=р formulaga ega bo’ldik.

x

Uzluksizlik tushunchasidan foydalanilsa limitni hisoblash ancha osonlashadi, ya‘ni uzluksiz funksiyaning biror nuqtadagi limitini hisoblash uning shu nuqtadagi qiymatini hisoblashga keltiriladi.

Endi asosiy elementar funksiyalarning aniqlanish sohalarining chetlaridagi limitlari hamda ajoyib limitlar jadvalini keltiramiz.

1. 
   x = a nuqtada uzluksiz
   

y = f (x) funksiya uchun lim f (x) =

x®a

f (a) bo’ladi.

2. 
   lim e^x = +¥ ,
   

x®+¥

lim e^x = 0 .

x®-¥

3. 
   a > 1 bo’lganda
   

lim a^x = +¥ ,

x®+¥

lim a^x = 0

x®-¥

bo’ladi.

4. 
   0 < a < 1 bo’lganda
   

lim a^x = 0 ,

x®+¥

lim a^x = +¥

x®-¥

bo’ladi.

5. 
   a > 0 bo’lganda
   

lim x^a

x®+¥

= +¥ , a < 0 bo’lganda

lim x^a = 0

x®+¥

bo’ladi;

6. 
   lim lnx = +¥,
   

x®+¥

lim lnx = -¥.

x®+0

6') a > 1 bo’lganda

lim log_a x = +¥,

x®+¥

lim log_a x = -¥ .

x®+0

7. 
   0 < a < 1 bo’lganda
   

lim log_a x = -¥,

x®+¥

lim log_a x = +¥ .

x®+0

8. 
   lim
   

p

tgx = +¥,

lim

p

tgx = -¥.

x® -0

2

x® +0

2

9. 
   lim arctgx = ^p ,
   

lim arctgx = - ^p .

x®+¥

₂ x®-¥ ₂

10. 
    lim ^{sin x} = 1 .
    

x®0 _x

11)

lim ^æ1 + ^{1 ö}


÷

x

ç
x®±¥ _{è x ø}

= e .

12. 
    lim ^a
    

x®0

^-1 = lna .


x
x

x
12') lim ^e

x®0

^-1 = 1.

x

12. 
    
    p
    lim ^{(1 + x)}
    

^-1 = p .

x®0

12. 
    lim
    

x®0

x

log_a (1 + x) ₌

x

ln(1 + x)
1

.

lna

14') lim

x®0 _x

= 1 .

Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari

Kesmada uzluksiz funksiyalarning ayrim xossalarini isbotsiz keltiramiz.

Teorema. Agar

f (x) funksiya [a; b]

kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda u bu kesmada o’zining

eng kichik va eng katta qiymatiga erishadi, ya‘ni [a; b]

kesmada shunday

x₁ , x₂

nuqtalar mavjud

bo’lib [a; b]

kesmadagi barcha х lar uchun

f (x₁ ) ³

f (x) va

f (x₂ ) £

f (x) tengsizliklar to’g’ri

bo’ladi (94-chizma).

m = f (x₂ ) va

M = f (x₁ )

y = f (x) funksiyaning [a; b]

kesmadagi eng kichik va eng katta

qiymatlaridir.








Izoh. Teoremaning shartidagi kesmani interval yoki yarim intervalga almashtirish mumkin emas.

Masalan, (0; 1) intervalda uzluksiz

y = x

funksiya

bu intervalda o’zining eng kichik va eng katta qiymatlarini hech biriga erisha olmaydi.

Natija. [a; b] kesmada uzluksiz

94-chizma.

f (x) funksiya shu kesmada chegaralangandir.

Haqiqatan,

f (x) funksiya [a; b]

kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini mos

ravishda M va m orqali belgilasak [a; b]

kesmadagi barcha х lar uchun

m £ f (x) £ M

tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Agar С orqali m va M dan kattasini belgilasak

f (x) £ C

tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlik

f (x) funksiya [a; b]
kesmada chegaralanganligini ko’rsatadi.

Teorema. Agar

f (x) funksiya [a; b]

kesmada uzluksiz va kesmaning oxirida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda

(a; b)intervalda kamida bitta nuqta mavjud

bo’lib, bu nuqtada funksiyaning qiymati nolga teng bo’ladi.

95-chizmada

f (a) > 0 ,

f (b) < 0 va

x₁ , x₂ , x₃







95-chizma.

nuqtalarda funksiyaning grafigi 0х o’qni

kesib o’tadi, demak,

f (x₁ ) = 0 ,

f (x₂ ) = 0 ,

f (x₃ ) = 0 .

Teorema.

f (x) funksiya [a; b]

kesmada uzluksiz bo’lib m va M uning shu kesmadagi eng

kichik va eng katta qiymati bo’lsin, u holda funksiya shu kesmada m bilan M orasidagi barcha

oraliq qiymatlarini qabul qiladi, ya‘ni

m < l < M

shartni qanoatlantiradigan istalgan l son uchun

[a; b] kesmada kamida bitta x = c nuqta mavjud bo’lib, f (c) = l

tenglik to’g’ri bo’ladi(96-hizma).

Izoh. Funksiya [a; b]

kesmaning birorta

nuqtasida uzilishga ega bo’lganda 18.6- va 18.7- teoremalar bajarilmasligi mumkin. Masalan,

1

f (x) = funksiya uchun

x

f (-1) = -1 < 0 , f (1) = 1 > 0

bajarilsada у [-1; 1]

kesmaning hech bir nuqtasida nolga
1
96-chizma.

aylanmaydi. Buning sababi (91-chizma).

f (x) = funksiya [-1; 1]

x

kesmadagi

x = 0

nuqtada uzilishga ega