Й. С. Шотемиров инвариантные подпространства и связанные состояния системы двух бозонов со цилиндрическим потенциалом

УДК: 517.984
Й.С.Шотемиров
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА И СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ БОЗОНОВ СО ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ
1. Введение и предварительные замечания. Пpиpода появления связанных состояний двухчастичных кластеpных опеpатоpов пpи малых значениях паpаметpа впеpвые подpобно исследовалась Минлосом и Маматовым [1], а потом в более общей ситуации Минлосом и Могильнером [2]. В статье [3] Хауленд показал, что теоpема Реллиха о возмущении собственных значений не pаспpостpаняется на теоpию pезонансов.
Исследование связанных состояний гамильтониана системы двух частиц на мерной решетке сводится к изучению собственных значений семейства операторов Шредингера При этом собственные функции оператора трактуются как связанные состояния гамильтониана а собственные значения как энергии связанного состояния.
Связанные состояние гамильтониана системы двух фермионов на одномерной решетке изучены в [4], возмущении собственных значений и резонансов двухчастичного оператора Шредингера на двухмерной решетке исследовалось в работах [5]. Связанные состояние системы двух фермионов на двумерной решетке изучались в [6], а на трехмерной решетке в [7].
Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на мерной решетке изучались в работах [8], [9].
Дискpетный спектp двухчастичного непрерывного оператора Шредингера

исследовалось многими автоpами, пpичем условия на потенциал фоpмулиpовались в его кооpдинатном пpедставлении. Условия конечности отрицательного спектра и отсутствия положительных собственных значений оператора приведены в [10]. Если то число отрицательных собственных значений неубывающая функция от и каждое собственное значение убывает в
В этой работе изучается инвариантные подпространства и собственные значения оператора Шредингера (см. (2.3)) соответствующий гамильтониану Из (2.3) и (2.4) вытекает, что

поэтому можно считать
Если предположить, что то оператор имеет бесконечное число собственных значений вида и существенный спектр состоит из одной точке Если потенциал имеет вид (2.5) и убывает на то эти собственные значения располагается в порядке при этом наибольшее собственное значение является простым, трехкратным, семикратным, а остальные девятикратными. В этом случае существенный спектр является бесконечнократным собственным значением.
Показано существование инвариантных подпространства относительно оператора . Далее рассматриваются инвариантные подпространства относительно оператора и доказывается, что это оператор имеет бесконечно много инвариантных подпространств
2. Описание двухчастичного гамильтониана. Свободному гамильтониану системы двух бозонов на трехмерной решетке обычно соответствует следующий ограниченный, самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве по формуле

Здесь и где единичный оператор, решетчатый Лапласиан есть разностный оператор, описывающий перенос частицы с узла на соседний узел, т.е.

где единичные орты в Полный гамильтониан действует в гильбертовом пространстве и состоит из cуммы свободного гамильтониана и потенциала взаимодействия двух частиц (см. [4],[5],[8],[9],[11]), т.е.
(2.1)
где

Всюду в дальнейшем относительно потенциала предполагается, что
(2.2)
При условии (2.2) гамильтониан является ограниченным и самосопряженным оператором в пространстве
Гамильтониан системы двух бозонов ( в импульсном представлении )разлагается на прямого интеграла операторов , .
Оператор называется оператором Шредингера и действует в гильбертовом пространстве по формуле
(2.3)
Невозмущенный оператор есть оператор умножения на функцию
(2.4)
Оператор возмущения интегральный оператор в с ядром

и принадлежит классу Гильберта-Шмидта .
Здесь и в далее мы рассмотрим оператор с потенциалом
(2.5)
где ( )
Носитель потенциала совпадает с цилиндром :

Здесь функция определено на множестве и является убывающим (т.е. ) и