Й. С. Шотемиров инвариантные подпространства и связанные состояния системы двух бозонов со цилиндрическим потенциалом

Лемма 4.3. Подпространства и являются инвариантными относительно оператора при всех .
Доказательство. Докажем инвариантность относительно оператора
По определению она принадлежит в , поэтому также принадлежит в при . Это показывает инвариантности подпространства относительно оператора .

является симметричным относительно перестановок . Это означает и подпространство инвариантно относительно оператора

Так как самосопражённый оператор, поэтому ортогональное дополнение подпространство также является инвариантным относительно
Сужение оператора в инвариантных пространствах и обозначим через .
Они действуеют соответственно по формулам
=
,
,
Лемма 4.4. Число собственным значением оператора тогда и только тогда , когда является нулем детерминанта Фредгольма
(4.3)
Теперь мы покажем что в интервале существует единственный нул детерминанта Фредгольма.
Теорема 4.1. Для любого и оператор имеет хотя бы одно собственное значение лежащее слева от существенного спектра.
Доказательство. Если мы сможем показать что оператор
Бирмана-Швингера соответствующий оператору при некоторых имеет собственное значение больше единицы, то по лемму 4.4 существует собственное значение оператора слева от
При и оператор положительным оператором и в этих условиях оператор при является положительным.
Из этого следует, что число
Является наибольшим собственным значением оператора .
Рассмотрим соответствующую скалярную произведению
(4.4а)
Если в качестве берем собственную функцию оператора соответствующее собственному значению то из (4.4а) следует
Можно показать, что последний интеграл когда слева стремится оно стремиться к бесконечности, то есть Из этого следует, сушествует такое число и имеет место неравенство и оно показывает что оператор
Бирмана-Швингера имеет собственное значение больше единицы.
Значить оператор имеет хотя бы одно собственное значение лежащее слева от существенного спектра.
Обозначим через а значение следующего интеграла:
(4.4)