Й. С. Шотемиров инвариантные подпространства и связанные состояния системы двух бозонов со цилиндрическим потенциалом

Теорема 4.2. Пусть и cos . Тогда оператор имеет единственное простое собственное значение вне существенного спектра.
Доказательство. Рассмотрим уравнение для собственных значений, т.е уравнение это уравнение эквивалентен к уравнению
×
× (4.5)
Введем обозначение
(4.6)
Из (4.3) получим
(4.7)
Поставляя (4.7) к (4.6) имеем

или
(4.8)
Если в (4.6) то оно противоречить тому что является собственной функцией, поэтому только могут равнятся к нулью,
Теперь мы покажем что в интервале существует единственный нул функции
В этом равенстве второго множителья обозначим через , то есть

Известно что
и
или

Здесь если ввести обозначение , то тогда

Значить то есть отсюда, если получим .
Из леммы 4.4 и монотонности функции следует, что является единственным простым собственным значением оператора
Заключение. Из теоремы 4.1. следует, что для любого оператор имеет бесконечное число собственных значений ниже существенного спектра.
Литература
1. Ш.С.Маматов, Р.А.Минлос . Связанные состояния двухчастичного кластерного оператора. ТМФ. Т.79, 2, 163-179, (1989).
2. R.A.Minlos , A.I.Mogilner . Some problems conserning spectra of lattice models. In Schodinger operators: Standard and Nonstandard (eds. P.Exner, P.Seba). World. Scientific. Singapoor. 1989.
3. J.S.Howland . Puiseux Series for Resonances at an Embedded Eigenvalue. Pacific J. Math. V.55, 157-176, (1974).
4. Ж.И. Абдуллаев. Связанные состояния системы двух фермионов на одномерной решетке. ТМФ. Т.147, 1, 36-47, (2006).
5. Ж.И.Абдуллаев., К.Д .Кулиев. Связанные состояния системы двух бозонов на двумерной решетке. ТМФ, Т 186, 2, 272-292, (2016).
6. Ж. И.Абдуллаев, К.Д.Кулиев, Б.У.Мамиров. Бесконечностъ числа связанных состояний системы двух фермионов на двумерной решетке. Узбекский Математический Журнал, 2016, № 4, 3-16.
7. J.I.Abdullaev, A.M.Toshturdiyev Bound states of a system of Two Fermions on Invariant Subspace. Journal of Modern Physics, 2021, 12, 35-49. https://www.scirp.org/journal/imp
8. Ж.И.Абдуллаев, И.А.Икромов. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке. ТМФ, Т152, 2, 47-57, (2007).
9. M.I.Muminov and S.K.Ghoshal. Spectral Features of Two-Particle Schrodinger Operators on Dimensional Lattice. Compleточто тоx Analysis and Operator Theory. V., 288-300, (2020).
10. M. Reed and B. Simon. Методы современной математической физики. IV: Анализ операторов. М.: Мир. (1982).
11. Ж.И.Абдуллаев, Й.С.Шотемиров, Ш.Х.Эргашова. Инвариантные подпространства и связанные состояние системы двух бозонов на решетке. Научный вестник СамГУ. № 3. 4-15. (2021 ).