Ҳисоблашнинг комплекс усули ҳАҚида тушунча. Ом ва кирхгоф қонунларининг комплекс шаклда ифодаланиши. Комплекс қаршиликлар ва ўтказувчанликлар

ҲИСОБЛАШНИНГ КОМПЛЕКС УСУЛИ ҲАҚИДА ТУШУНЧА. ОМ ВА КИРХГОФ ҚОНУНЛАРИНИНГ КОМПЛЕКС ШАКЛДА ИФОДАЛАНИШИ. КОМПЛЕКС ҚАРШИЛИКЛАР ВА ЎТКАЗУВЧАНЛИКЛАР
Маълумки, синусоидал ўзгарувчан ток занжирларида турғунлашган ҳолатлар (Э.Ю.К., кучланиш ва ҳ.к.) дифференсиал тенгламаларнинг хусусий ечимларидан иборат бўлиб, улар билан занжирларнинг мувозанат ҳолатлари тавсифланади. Pараметрлари чизиқли бўлган занжирга ўзгарувчан кучланиш берилганда унинг ҳамма тармоқлари ва қисмларида худди шундай шаклдаги реаксия рўй беради. Бошқача қилиб айтганда, занжирнинг мувозанат ҳолати Кирхгоф қонунларига биноан ўзгарувчан электр ва электромагнит миқдорларнинг баланси билан ифодаланади. Мураккаб синусоидал ўзгарувчан ток занжирларини оддий математик усул билан ҳисоблаш ноқулай ва кўп меҳнат талаб қилади ва ундан амалий ҳисоблашда фойдаланиш қийин.

10.1-расм

Бундай ҳисоблашдаги асосий ноқулайлик ҳар бир синусоидал миқдор (Э.Ю.К., кучланиш ва ток) ўзининг амpлитудаси ва бошланғич фазаси билан аниқланишидан келиб чиқади. Ўзгарувчан миқдорларни геометрик усулда айланувчи векторлар тарзида ифодалаш (3.4) ҳам ўз навбатида мураккаб занжирлар учун бажариш қийин бўлган мураккаб вектор диаграммалар тузишни талаб этади. Шунга қарамасдан бу усул ўзгарувчан ток занжирларини к о м p л е к с усулда ҳисоблашнинг асоси қилиб олинган. Комплекс усул, яъни айланувчи векторларни комплекс сонлар ёрдамида ифодалаш геометрик ясашларни талаб қилмай, комплекс сонлар устида амаллар бажаришга имкон беради. 10.1-расмда ҳақиқий (+1) ва мавҳум (+ж) ортогонал ўқларда комплекс текислик кўрсатилган бўлиб, унда А,В ва С комплекс сонлар тасвирланган (электротехникада бундай векторлар нуқта билан белгиланади). Бу сонларнинг тасвири координата боши 0 дан чиқиб, А,В,С модулларга эга бўлган векторларни ифодалайди. Векторларнинг ҳолати +1 ўқдан бошлаб соат милига тескари йўналишда ҳисобланган бошланғич ва фазалар (аргументлар) билан ёки бу векторларнинг тегишли ўқларга бўлган pроексиялари: а₁ ва а₂; б₁ ва б₂; с₁ ва с₂ орқали белгиланади. Биринчи ҳолда векторлар қуйидагича кўрсаткичли шаклда берилган деб ҳисобланади:

, ва ,
бунда: е - натурал логарифмларнинг асоси, . Иккинчи ҳолда тасвир алгебраик (ёки тригонометрик) шаклда берилган ҳисобланади:
, , ва
ёки
, ва

Келтирилган шаклдаги ёзишлар Эйлернинг комплекс сонлар учун берилган формулаларидан келиб чиқади, яъни:


комплекс сонлар учун қуйидаги нисбатларни келтириш мумкин:
,
бунда: - комплекс соннинг ҳақиқий қисмини ифодалайди, - комплекс соннинг мавҳум қисмини ифодалайди.
Хусусий ҳолда:

1. 
   бўлса, ;
   
2. 
   бўлса, ;
   
3. 
   бўлса, ; ва ҳ.к. Шунингдек,
   

, ; ; ва
эканлиги кўриниб турибди. Энди бизга қандайдир комплекс сон берилган бўлсин:
;
уни қуйидагича ёзиш мумкин:





Бу эса бурчак тезлик билан айланаётган бирор И_м векторнинг тасвиридир. Бошқа томондан векторнинг мавҳум қисми оддий синусоидадир, яъни:

Демак, биз бошланғич фазаси ва амpлитудаси И_м бўлган частотали синусоидани комплекс шаклда тасвирладик. Агар синусоидал ўзгарувчан токнинг оний қийматининг худди ана шундай шаклда кўрсатилишини ҳисобга олсак, комплекс сон

ток нинг символик тасвири бўлиб чиқади. Бу ерда - токнинг комплексли амpлитудаси. Кўпайтирувчи комплекс сонни ўзининг бошланғич ўқи атрофида ўзгармас бурчак тезлик билан айланаётган вектор эканлигини кўрсатади, 3.3 да кўрсатилганидек, бир хил частоталардаги электр миқдорлар векторларининг бир вақтда айланиши бу векторлар орасидаги фазавий хамда амpлитудавий нисбатларни бузмайди. Демак, вектор мос келади деб ҳисоблаш мумкин. Худди шунингдек Э.Ю.К. ва кучланиш учун тегишлича

ва

га эга бўламиз.
Ҳақиқий ҳисоблашда токлар, Э.Ю.К.лар ва кучланишларнинг эффектив қийматлари берилади; у ҳолда тегишли комплекслар қуйидаги кўринишда ёзилади:


, ва

Шундай қилиб, комплекс усул синусоидал функсиялардан (оригиналлардан) комплекс сонларга (уларнинг тасвирига) ўтиш имконини беради.