Идз моои часть-1 doc

ФГБОУ ВПО Уральский государственный педагогический университет
Математический факультет
В.Ю. Бодряков
Индивидуальные домашние задания (ИДЗ)
по дисциплине «Математика»
Часть 1

Екатеринбург – 2014

Введение
Настоящая методическая разработка предназначена для студентов всех форм обучения, изучающих дисциплину «Математика». Разработка содержит индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по 30 вариантов в каждом и методические указания к их решению.


Методические указания к решению задач
ИДЗ-1. Основные понятия теории множеств
Определить и изобразить на рисунках множества A, B, AB, AB, A/B, B/A, AB, где
A = {(x, y)  R²: |x|  1, |y|  1},
B = {(x, y)  R²: |x – 1|  1, |y – 1|  1}.
Решение: Множества A и B представляют собой множества точек на декартовой плоскости R  R = R² (плоскости Oxy). Как нетрудно установить, множество A представляет собой внутренность квадрата с центром в точке (0; 0) со сторонами длиной 2, параллельными координатным осям; граница принадлежит множеству A. Аналогично, множество B представляет собой внутренность квадрата с центром в точке (1; 1) со сторонами длиной 2, параллельными координатным осям; граница принадлежит множеству B. Множества A, B, AB, AB, A/B, B/A, AB изображены на рис. 1.


ИДЗ-2. Законы алгебры множеств
Пусть A, B, C – подмножества некоторого универсального множества U. Установите справедливость нижеследующего утверждения:
(A\B)(B\A) = (AB)\(AB).
Решение: Разложим множества A и B на непересекающиеся подмножества {x_A}, {x_B}, {x_AB}:
A = {x_Ax_AB};
B = {x_Bx_AB}.
В этих обозначениях для левой части предполагаемого равенства имеем:
A\B = {x_Ax_AB}\{x_Bx_AB} = {x_A};
B\A = {x_Bx_AB}\{x_Ax_AB} = {x_B};
(A\B)(B\A) = {x_A}{x_B} = {x_Ax_B}.
Для правой части равенства имеем:
AB = {x_Ax_AB}{x_Bx_AB} = {x_Ax_Bx_AB};
AB = {x_Ax_AB}{x_Bx_AB} = {x_AB};
(AB)\(AB) = {x_Ax_Bx_AB}\{x_AB} = {x_Ax_B}.
Левая и правая части доказываемого равенства одинаковы и равны {x_Ax_B}. Справедливость утверждения установлена.

	Рис. 1

ИДЗ-3. Элементы комбинаторики
а) Вычислите значение X комбинаторного выражения;
б) Решите комбинаторную задачу;
в) Решите комбинаторную задачу повышенного уровня сложности.
а) X = 10P₄ – ;
б) В студенческой группе 10 девушек и 6 юношей. Для участия в эстафете от группы требуется выставить команду из двух девушек и двух юношей. Сколькими способами можно сформировать команду?
в) Сколькими способами шесть пассажиров могут сесть в электричку из пяти вагонов так, чтобы ни один вагон не оставался пустым?
Решение: 1а) С учетом известных формул комбинаторики (без повторений) для числа перестановок из n элементов:
P_n = n!;
размещений из n элементов по k элементов:
= ;
и сочетаний из n элементов по k элементов:
= ;
проведем необходимые преобразования:
X = 10P₄ – = 104!  – = 25!  – 5! =
= 5!(2 – 1) = 5! = 120.
б) Число способов выбрать для участия в команде двух девушек равно:
= = = 45.
Аналогично, число способов выбрать для участия в команде двух юношей равно:
= = = 15.
Согласно комбинаторному принципу умножения, число способов сформировать команду из двух девушек и двух юношей равно:
n =  = 4515 = 675.
в) Из условия задачи ясно, что в одном вагоне (из пяти) должны разместиться два пассажира, а в остальных четырех вагонах – по одному.
Для удобства будем считать, что вначале в один из вагонов электрички садятся два человека, отобранных из шести, а затем оставшиеся четыре человека рассаживаются по одному в оставшиеся четыре вагона.
Число способов выбрать два пассажира из шести составляет = 15. Число способов этой паре пассажиров разместиться в одном из пяти вагонов равно числу вагонов, т.е. 5. Таким образом, число способов двум пассажирам, отобранным из шести, разместиться парой в пяти вагонах, равно  5 = 155 = 75. Оставшиеся четыре человека могут разместиться по одному в четырех вагонов числом способов равны числу перестановок из четырех: P₄ = 4! = 24.
Окончательно, полное число способов шести пассажирам сесть в электричку из пяти вагонов так, чтобы ни один вагон не оставался пустым, составляет n = 5P₄ = 7524 = 1800.
Ответ: a) X = 120; б) n =  = 675; в) n = 5 P₅ = 1800.