1
FUNKSIYA VA UNING LIMITI
Funksiya tushunchasi
1
0
. Funksiya ta`rifi, berilish usullari.
Biz
E
to`plamni
F
to`plamga akslantirish
F
E
f
:
ni o`rgangan edik.
Endi
F
E
,
R
F
deb olamiz. Unda har bir haqiqiy
x
songa
biror haqiqiy y sonni
mos qo`yuvchi
R
F
f
:
(
y
x
f
)
akslantirishga kelamiz. Bu esa funksiya tushunchasiga olib keladi.
Funksiya tushunchasi o`quvchiga o`rta maktab matematika kursidan ma`lum. SHuni
e`tiborga olib funksiya haqidagi dastlabki ma`lumotlarni qisqaroq bayon etishni lozim topdik.
Aytaylik,
R
X
,
R
Y
to`plamlar berilgan bo`lib,
x
va
y
o`zgaruvchilar mos
ravishda shu to`plamlarda o`zgarsin:
X
x
,
Y
y
.
1-ta`rif.
Agar
X
to`plamdagi har bir
x
songa biror
f
qoidaga ko`ra
Y
to`plamdan
bitta
y
son mos qo`yilgan bo`lsa,
X
to`plamda
funksiya berilgan
(
aniqlangan
) deyiladi va
y
x
f
:
yoki
x
f
y
kabi belgilanadi.
Bunda
X
-
funksiyaning aniqlanish to`plami
(
cohasi
),
Y
-
funksiyaning
o`zgarish to`plami (cohasi) deyiladi.
x
- e
rkli o`zgaruvchi
yoki
funksiya argumenti
, y esa
e
rksiz o`zgaruvchi
yoki
funksiya
deyiladi.
Misollar.
1.
,
0
,
,
Y
X
bo`lib,
f
qoida
1
:
2
x
y
x
f
bo`lsin. Bu holda har bir
X
x
ga bitta
Y
x
1
2
mos qo`yilib,
1
2
x
y
funksiyaga ega bo`lamiz.
2. Har bir ratsional songa 1 ni, har bir irratsional songa 0 ni mos qo`yish natijasida funksiya
hosil bo`ladi. Odatda, bu
Dirixle funksiyasi
deyilib, u
x
D
kabi belgilanadi:
бўлса
сон
иррационал
агар
0
бўлса
сон
рационал
агар
1
x
,
,
x
,
x
D
SHunday qilib,
x
f
y
funksiya uchta:
X
to`plam,
Y
to`plam va har bir
X
x
ga bitta
Y
y
ni mos qo`yuvchi
f
qoidaning berilishi bilan aniqlanar ekan.
Faraz qilaylik,
x
f
y
funksiya
R
X
to`plamda berilgan bo`lsin.
X
x
0
nuqtaga
mos keluvchi
0
y
miqdor
x
f
y
funksiyaning
0
x
x
nuqtadagi xususiy qiymati
deyiladi
va
0
0
y
x
f
kabi belgilanadi.
Tekislikda dekart koordinatalar sistemasini olamiz. Tekislikdagi
x
f
x
,
nuqtalardan
iborat ushbu
Y
x
f
X
x
x
f
x
x
f
x
,
,
,
to`plam
x
f
y
funksiyaning grafigi deyiladi. Masalan,
2
,
2
1
2
X
x
x
y
funksiyaning grafigi 1-chizmada tasvirlangan.
2
1-chizma.
Funksiya ta`rifidagi
f
qoida turlicha bo`lishi mumkin.
a) Ko`pincha
x
va
y
o`zgaruvchilar orasidagi bog`lanish formulalar yordamida
ifodalanadi. Bu
funksiyaning anali-tik usulda berilishi
deyiladi. Masalan,
2
1
x
y
funksiya analitik usulda berilgan bo`lib, uning aniqlanish to`plami
1
,
1
1
1
x
R
x
X
bo`ladi.
x
va
y
o`zgaruvchilar orasidagi bog`lanish quyidagi formulalar yordamida berilgan
bo`lsin:
бўлса.
0
агар
,
1
бўлса,
0
агар
,
1
)
(
x
x
x
f
y
Bu funksiyaning aniqlanish to`plami
0
\
R
X
bo`lib, qiymatlar to`plami esa
1
,
1
Y
bo`ladi. Odatda bu funksiya
x
y
sign
kabi belgilanadi.
b) Ba`zi hollarda
X
x
,
Y
y
o`zgaruvchilar orasidagi bog`lanish jadval orqali bo`lishi
mumkin. Masalan, kun davomida havo haroratini kuzatganimizda,
1
t
vaqtda havo harorati
1
T
,
2
t
vaqtda havo harorati
2
T
va h.k. bo`lsin. Natijada quyidagi jadval hosil bo`ladi.
t
– vaqt
1
t
2
t
3
t
...
n
t
T
– harorat
1
T
2
T
3
T
...
n
T
Bu jadval
t
vaqt bilan havo harorati
T
orasidagi bog`lanish-ni ifodalaydi, bunda
t
-argument,
T
esa
t
ning funksiyasi bo`ladi.
v)
x
va
y
o`zgaruvchilar orasidagi bog`lanish tekislikda biror
egri chiziq orqali ham
ifodalanishi mumkin (2-chizma).
2-chizma.
Masalan, 2-chizmada tasvirlangan
L
egri chiziq beril-gan bo`lsin. Aytaylik,
b
a
,
segmentdagi har bir nuqtadan o`tkazilgan perpendikulyar
L
chiziqni faqat bitta nuqtada kessin.
3
b
a
x
,
nuqtadan
perpendikulyar chiqarib, uning
L
chiziq bilan kesishish nuqtasini
topamiz. Olingan
x
nuqta-ga kesishish nuqtasining ordinatasi
y
ni mos qo`yamiz. Natijada har
bir
b
a
x
,
ga bitta
y
mos qo`yilib, funksiya hosil bo`ladi. Bunda
x
bilan
y
orasidagi
bog`lanishni beril-gan
L
egri chiziq bajaradi.
Aytaylik,
x
f
1
funksiya
R
X
1
to`plamda,
x
f
2
funksiya esa
R
X
2
to`plamda
aniqlangan bo`lsin.
Agar
1)
2
1
X
X
2)
1
X
x
da
x
f
x
f
2
1
bo`lsa,
x
f
1
hamda
x
f
2
funksiyalar o`zaro teng deyiladi va
x
f
x
f
2
1
kabi belgilanadi.
2
0
. Funksiyaning chegaralanganligi.
x
f
funksiya
R
X
to`plamda berilgan bo`lsin.
2-ta`rif.
Agar shunday o`zgarmas
M
soni topilsaki,
X
x
uchun
M
x
f
tengsizlik bajarilsa,
x
f
funksiya
X
to`plamda yuqoridan chegaralangan
deyiladi. Agar
shunday o`zgarmas
m
soni topilsaki,
X
x
uchun
m
x
f
tengsizlik bajarilsa,
x
f
funksiya
X
to`plamda quyidan chegaralan-gan
deyiladi.
3-ta`rif.
Agar
x
f
funksiya
X
to`plamda ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan
bo`lsa,
x
f
funksiya
X
to`plamda chegaralangan
deyiladi.
1-misol.
Ushbu
4
2
1
1
)
(
x
x
x
f
funksiyani qaraylik.
Bu funksiya
R
da chegaralangan
bo`ladi.
◄ Ravshanki,
R
x
da
0
1
1
)
(
4
2
x
x
x
f
.
Demak, berilgan funksiya R da quyidan chegaralangan.
Ayni paytda,
x
f
funksiya uchun
4
2
4
2
4
1
1
1
1
1
)
(
x
x
x
x
x
x
f
bo`ladi. endi
2
1
1
1
2
1
2
)
1
(
0
4
2
4
2
2
4
2
2
x
x
x
x
x
x
x
bo`lishini e`tiborga olib, topamiz:
.
2
3
2
1
1
)
(
x
f
Bu esa
x
f
funksiyaning yuqoridan chegaralanganligini bildiradi. Demak, berilgan funksiya
R
da chegaralangan. ►
4-ta`rif.
Agar har qanday
0
M
son olinganda ham shunday
X
x
0
nuqta topilsaki,
M
x
f
0
tengsizlik bajarilsa,
x
f
funksiya
X
to`plamda yuqoridan chegaralanmagan
deyiladi.
3
0
. Davriy funksiyalar. Juft va toq funksiyalar.
x
f
funksiya
R
X
to`plamda
berilgan bo`lsin.
5-ta`rif.
Agar shunday o`zgarmas
0
T
T
son mavjud bo`lsaki,
X
x
uchun
