|
davriy funksiya
deyiladi,
T
son esa
x
f
funksiyaning davri
deyiladi.
Masalan,
x
x
f
sin
,
x
x
f
cos
funksiyalar davriy funksiyalar bo`lib, ularning
davri
2
ga,
tgx
x
f
,
ctgx
x
f
funksiyalarning davri esa
ga teng.
Davriy funksiyalar quyidagi xossalarga ega:
a) Agar
x
f
davriy funksiya bo`lib, uning davri
0
T
T
bo`lsa, u holda
,
2
,
1
n
nT
T
n
sonlar ham shu funksiyaning davri bo`ladi.
b) Agar
1
T
va
2
T
sonlar
x
f
funksiyaning davri bo`lsa, u holda
0
2
1
T
T
hamda
2
1
2
1
T
T
T
T
sonlar ham
x
f
funksiya-ning davri bo`ladi.
v) Agar
x
f
hamda
x
g
lar davriy funksiyalar bo`lib, ularning har birining davri
0
T
T
bo`lsa, u holda
x
g
x
f
,
x
g
x
f
,
x
g
x
f
,
)
(
)
(
x
g
x
f
0
x
g
funksiyalar ham davriy funksiyalar bo`lib,
T
son ularning ham davri bo`ladi.
2-misol.
Ixtiyoriy
0
T
T
ratsional son Dirixle funksiyasi
бўлса
сон
иррационал
агар
,
0
,
бўлса
сон
рационал
агар
,
1
)
(
x
x
x
D
ning davri bo`lishi ko`rsatilsin.
◄ Aytaylik,
0
T
T
ratsional son bo`lsin. Ravshanki,
R
x
irratsional son uchun
T
x
– irratsional son,
R
x
ratsional son uchun
T
x
ratsional son bo`ladi. Demak,
бўлса
сон
иррационал
агар
,
0
,
бўлса
сон
рационал
агар
,
1
)
(
x
x
T
x
D
SHunday qilib,
R
x
,
T
- ratsional son bo`lganda
x
D
T
x
D
bo`ladi. ►
Ma`lumki,
R
X
X
x
uchun
X
x
bo`lsa, X to`plam
O
nuqtaga nisbatan
simmetrik to`plam
deyiladi.
Aytaylik,
O
nuqtaga nisbatan simmetrik bo`lgan
X
to`plamda
x
f
funksiya berilgan
bo`lsin.
6-ta`rif.
Agar
X
x
uchun
x
f
x
f
tenglik bajaril-sa,
x
f
juft funksiya
deyiladi. Agar
X
x
uchun
x
f
x
f
tenglik bajarilsa,
x
f
toq funksiya
deyiladi.
Masalan,
1
2
x
x
f
juft funksiya,
x
x
x
f
3
esa toq funksiya bo`ladi. Ushbu
x
x
x
f
2
funksiya juft ham emas, toq ham emas.
Agar
x
f
va
x
g
juft funksiyalar bo`lsa, u holda
x
g
x
f
,
x
g
x
f
,
x
g
x
f
,
)
(
)
(
x
g
x
f
0
x
g
funksiyalar ham juft bo`ladi.
5
Agar
x
f
va
x
g
toq funksiyalar bo`lsa, u holda
x
g
x
f
,
x
g
x
f
funksiyalar toq bo`ladi,
x
g
x
f
,
)
(
)
(
x
g
x
f
0
x
g
funksiyalar esa juft bo`ladi.
Juft funksiyaning
grafigi ordinatalar o`qiga nis-batan, toq funksiyaning grafigi esa
kordinatalar boshiga nisbatan simmetrik joylashgan bo`ladi.
4
0
. Monoton funksiyalar.
Faraz qilaylik,
x
f
funksiya
R
X
to`plamda berilgan
bo`lsin.
7-ta`rif.
Agar
X
x
x
2
1
,
uchun
2
1
x
x
bo`lganda
2
1
x
f
x
f
tengsizlik
bajarilsa,
x
f
funksiya
X
to`plamda
o`suvchi
deyiladi. Agar
X
x
x
2
1
,
uchun
2
1
x
x
bo`lganda
2
1
x
f
x
f
tengsizlik bajarilsa,
x
f
funksiya
X
to`plamda qat`iy o`suvchi
deyiladi.
8-ta`rif.
Agar
X
x
x
2
1
,
uchun
2
1
x
x
bo`lganda
2
1
x
f
x
f
tengsizlik
bajarilsa,
x
f
funksiya
X
to`plamda kamayuvchi
deyiladi. Agar
X
x
x
2
1
,
uchun
2
1
x
x
bo`lganda
2
1
x
f
x
f
tengsizlik bajarilsa,
x
f
funksiya
X
to`plamda qat`iy
kamayuvchi
deyiladi.
O`suvchi hamda kamayuvchi funksiyalar umumiy nom bilan
monoton funksiyalar
deyiladi.
3-misol.
Ushbu
2
1
)
(
x
x
x
f
funksiyaning
,
1
X
to`p-lamda kamayuvchi
ekanligi isbotlansin.
◄
,
1
da ixtiyoriy
1
x
va
2
x
nuqtalarni olib,
2
1
x
x
bo`lsin deylik. Unda
)
1
)(
1
(
1
1
)
(
)
(
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
)
1
)(
1
(
)
1
)(
(
)
1
)(
1
(
)
(
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
bo`ladi. Keyingi tenglikda
0
2
1
x
x
,
0
1
2
1
x
x
bo`lishini e`tiborga olib,
0
2
1
x
f
x
f
ya`ni,
2
1
x
f
x
f
ekanini topamiz. Demak,
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
.►
Aytaylik,
x
f
va
x
g
funksiyalar
R
X
to`plamda o`suvchi (kamayuvchi) bo`lib,
const
C
bo`lsin. U holda
a)
C
x
f
funksiya o`suvchi (kamayuvchi) bo`ladi.
b)
0
C
bo`lganda
x
f
C
o`suvchi,
0
C
bo`lganda
x
f
C
kamayuvchi bo`ladi.
v)
x
g
x
f
funksiya o`suvchi (kamayuvchi) bo`ladi.
5
0
. Teskari funksiya. Murakkab funksiyalar.
x
f
y
funksiya
R
X
to`plamda
berilgan bo`lib, bu funksiyaning qiymatlaridan iborat to`plam
6
}
|
)
(
{
X
x
x
f
Y
f
bo`lsin.
Faraz qilaylik, biror qoidaga ko`ra
f
Y
, to`plamdan olingan har bir
y
ga
X
to`plamdagi
bitta
x
mos qo`yilgan bo`lsin. Bunday moslik natijasida funksiya hosil bo`ladi. Odatda, bu
funksiya
x
f
y
ga nisbatan
teskari funksiya
deyiladi va
)
(
1
y
f
x
kabi belgilanadi.
Masalan,
1
2
1
x
y
funksiyaga nisbatan teskari funksiya
1
2
y
x
bo`ladi.
YUqorida aytilganlardan
x
f
y
da
x
argument,
y
esa
x
ning funksiyasi, teskari
)
(
1
y
f
x
funksiyada
y
argument,
x
esa
y
ning funksiyasi bo`lishi ko`rinadi.
Qulaylik uchun teskari funksiya argumenti ham
x
, uning funksiyasi
y
bilan belgilanadi:
x
g
y
.
x
f
y
ga nisbatan teskari
x
g
funksiya grafigi
x
f
funksiya grafigini I va III
choraklar bissektrisasi atrofii-da 180
0
ga aylantirish natijasida hosil bo`ladi.
Aytaylik,
f
Y
to`plamda
y
F
u
funksiya berilgan bo`lsin. Natijada
X
to`plamdan
olingan har bir
x
ga
f
Y
to`plamda bitta
y
:
)),
(
(
:
x
f
y
y
x
f
va
f
Y
to`plamdagi bunday
y
songa bitta
u
:
))
(
(
:
y
F
u
u
y
F
son mos qo`yiladi. Demak,
X
to`plamdan olingan har bir
x
songa bitta
u
son mos qo`yilib,
yangi funksiya hosil bo`ladi:
x
f
F
u
. Odatda bunday funksiyalar
Do'stlaringiz bilan baham: |
